Изменение размеров, объема и возможно формы тела, при внешнем воздействии на него, называют в физике деформацией. Тело деформируется при растяжении, сжатии или (и), при изменении его температуры.
Деформация появляется тогда, когда разные части тела совершают разные перемещения. Так, например, если резиновый шнур тянуть за концы, то разные его части сместятся относительно друг друга, и шнур окажется деформированным (растянется, удлинится). При деформации изменяются расстояния между атомами или молекулами тел, поэтому возникают силы упругости.
Пусть прямой брус, длиной и, имеющий постоянное сечение, закреплен одним концом. За другой конец его растягивают, прикладывая силу (рис.1). При этом тело удлиняется на величину , которую называют абсолютным удлинением (или абсолютной продольной деформацией).
В любой точке рассматриваемого тела имеется одинаковое напряженное состояние. Линейную деформацию () при растяжении и сжатии подобных объектов называют относительным удлинением (относительной продольной деформацией):
Относительная продольная деформация
Относительная продольная деформация - величина безразмерная. Как правило относительное удлинение много меньше единицы ().
Деформацию удлинения обычно считают положительной, а деформацию сжатия отрицательной.
Если напряжение в брусе не превышает некоторого предела, экспериментально установлена зависимость:
где - продольная сила в поперечных сечениях бруса; S - площадь поперечного сечения бруса; E - модуль упругости (модуль Юнга) - физическая величина, характеристика жёсткости материала. Принимая о внимание то, что нормальное напряжение в поперечном сечении ():
Абсолютное удлинение бруса можно выразить как:
Выражение (5) является математической записью закона Р. Гука, который отражает прямую зависимость между силой и деформацией при небольших нагрузках.
В следующей формулировке, закон Гука используется не только при рассмотрении растяжения (сжатия) бруса: Относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению.
Относительная деформация при сдвиге
При сдвиге относительную деформацию характеризуют при помощи формулы:
где - относительный сдвиг; - абсолютный сдвиг слоев параллельных по отношению друг к другу; h — расстояние между слоями; - угол сдвига.
Закон Гука для сдвига записывают как:
где G - модуль сдвига, F - сила, вызывающая сдвиг, параллельная сдвигающимся слоям тела.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Каково относительное удлинение стального стержня, если его верхний конец закреплен неподвижно (рис.2)? Площадь поперечного сечения стержня . К нижнему концу стержня прикреплен груз массой кг. Считайте, что собственная масса стержня много меньше, чем масса груза.
|
| Решение | Сила, которая заставляет стержень растягиваться, равна силе тяжести груза, который находится на нижнем конце стержня. Эта сила действует вдоль оси стержня. Относительное удлинение стержня найдем как:
где . Прежде чем проводить расчет, следует найти в справочниках модуль Юнга для стали. Па. |
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Нижнее основание металлического параллелепипеда с основанием в виде квадрата со стороной a и высотой h закреплено неподвижно. На верхнее основание параллельно основанию действует сила F (рис.3). Какова относительная деформация сдвига ()? Модуль сдвига (G) считайте известным. |
Рассмотрим прямой стержень постоянного поперечного сечения, жестко закрепленный сверху. Пусть стержень имеет длину и нагружен растягивающей силой F . От действия этой силы длина стержня увеличивается на некоторую величину Δ (рис.9.7,а).
При сжатии стержня такой же силой F длина стержня сократится на такую же величину Δ (рис.9.7,б).
Величина Δ , равная разности между длинами стержня после деформации и до деформации, называется абсолютной линейной деформацией (удлинением или укорочением) стержня при его растяжении или сжатии.
Отношение абсолютной линейной деформации Δ к первоначальной длине стержня называется относительной линейной деформацией и обозначается буквой ε илиε x ( где индекс x указывает направление деформации). При растяжении или сжатии стержня величину ε просто называют относительной продольной деформацией стержня. Она определяется по формуле:
Многократные исследования процесса деформирования растянутого или сжатого стержня в упругой стадии, подтвердили существование прямой пропорциональной зависимости между нормальным напряжением и относительной продольной деформацией. Эта зависимость называется законом Гука и имеет вид:
Величина E называется модулем продольной упругости или модулем первого рода. Она является физической постоянной (константой) для каждого вида материала стержня и характеризует его жесткость. Чем больше величина E , тем меньше будет продольная деформация стержня. Величина E измеряется в тех же единицах, что и напряжение, то есть в Па , МПа , и тому подобное. Величины модуля упругости содержатся в таблицах справочной и учебной литературы. Например, величина модуля продольной упругости стали принимается равной E = 2∙10 5 МПа , а древесины
E = 0,8∙10 5 МПа.
При расчете стержней на растяжение или сжатие, часто возникает необходимость определения величины абсолютной продольной деформации , если известна величина продольной силы, площадь поперечного сечения и материал стержня. Из формулы (9.8) найдем: . Заменим в этом выражении ε его значением из формулы (9.9). В результате получим = . Если использовать формулу нормального напряжения , тополучим окончательную формулу для определения абсолютной продольной деформации:
Произведение модуля продольной упругости на площадь поперечного сечения стержня называется его жесткостью при растяжении или сжатии.
Анализируя формулу (9.10) сделаем существенный вывод: абсолютная продольная деформация стержня при растяжении (сжатия) прямо пропорциональная произведению продольной силы на длину стержня и обратно пропорциональная его жесткости .
Заметим, что формула (9.10) может быть использована в том случае, когда поперечное сечение стержня и продольная сила имеют постоянные значения по всей его длине. В общем случае, когда стержень имеет ступенчато переменную жесткость и загружен по длине несколькими силами, нужно разделить его на участки и определить абсолютные деформации каждого из них по формуле (9.10).
Алгебраическая сумма абсолютных деформаций каждого участка будет равняться абсолютной деформации всего стержня, то есть:
Продольные деформации стержня от действия равномерно распределенной нагрузки вдоль его оси (например, от действия собственного веса), определяется следующей формулой, которую приводим без доказательства:
В случае растяжения или сжатия стержня, кроме продольных деформаций возникают также поперечные деформации, как абсолютные, так и относительные. Обозначим через b размер поперечного сечения стержня до деформации. При растяжении стержня силой F этот размер уменьшится на величину Δb , которая является абсолютной поперечной деформацией стержня. Эта величина имеет отрицательный знак.При сжатии, напротив, абсолютная поперечная деформация будет иметь положительный знак (рис. 9.8).
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой линейной зависимостью, которая называется законом Гука
, по имени английского физика Р. Гука (1653-1703 г.г.), установившего этот закон.
Сформулировать закон Гука можно так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению
.
Математически эта зависимость записывается так:
σ = E ε .
Здесь Е
– коэффициент пропорциональности, который характеризует жесткость материала бруса, т. е. его способность сопротивляться деформации; его называют модулем продольной упругости
, или модулем упругости первого рода
.
Модуль упругости, как и напряжение, выражаются в паскалях (Па)
.
Значения Е
для различных материалов устанавливаются экспериментально-опытным путем, и их величину можно найти в соответствующих справочниках.
Так, для стали Е = (1,96.…2,16) х 105 МПа, для меди Е = (1,00...1,30) х 105 МПа и т. д.
Следует оговориться, что закон Гука справедлив лишь в определенных пределах нагружения.
Если в формулу закона Гука подставить полученные ранее значения относительного удлинения и напряжения: ε = Δl / l
, σ = N / А
, то можно получить следующую зависимость:
Δl = N l / (E А) .
Произведение модуля упругости на площадь сечения Е ×А , стоящее в знаменателе, называют жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно и физико-механические свойства материала бруса и геометрические размеры поперечного сечения этого бруса.
Приведенную выше формулу можно читать так: абсолютное удлинение или укорочение бруса прямо пропорционально продольной силе и длине бруса, и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.
Выражение Е А / l
называют жесткостью бруса при растяжении и сжатии
.
Приведенные выше формулы закона Гука справедливы лишь для брусьев и их участков, имеющих постоянное поперечное сечение, изготовленных из одного материала и при постоянной силе. Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса определяется, как алгебраическая сумма удлинений или укорочений отдельных участков:
Δl = Σ (Δl i)
Деформация
Деформация (англ. deformation ) - это изменение формы и размеров тела (или части тела) под действием внешних сил, при изменении температуры, влажности, фазовых превращениях и других воздействиях, вызывающих изменение положения частиц тела. При увеличении напряжения деформация может закончиться разрушением. Способность материалов сопротивляться деформации и разрушению под воздейстивем различного вида нагрузок характеризуется механическими свойствами этих материалов.
На появление того или иного вида деформации большое влияние оказывает характер приложенных к телу напряжений. Одни процессы деформации связаны с преобладающим действием касательной составляющей напряжения, другие - с действием его нормальной составляющей.
Виды деформации
По характеру приложенной к телу нагрузки виды деформации подразделяют следующим образом:
- Деформация растяжения;
- Деформация сжатия;
- Деформация сдвига (или среза);
- Деформация при кручении;
- Деформация при изгибе.
К простейшим видам деформации относятся: деформация растяжения, деформация сжатия, деформация сдвига. Выделяют также следующие виды деформации: деформация всестороннего сжатия, кручения, изгиба, которые представляют собой различные комбинации простейших видов деформации (сдвиг, сжатие, растяжение), так как сила приложенная к телу, подвергаемому деформации, обычно не перпендикулярна его поверхности, а направлена под углом, что вызывает как нормальные, так и касательные напряжения. Изучением видов деформации занимаются такие науки, как физика твёрдого тела, материаловедение, кристаллография.
В твёрдых телах, в частности - металлах, выделяют два основных вида деформаций - упругую и пластическую деформацию, физическая сущность которых различна.
Сдвигом называют такой вид деформации, когда в поперечных сечениях возникают только перерезывающие силы . Такое напряженное состояние соответствует действию на стержень двух равных противоположно направленных и бесконечно близко расположенных поперечных сил (рис. 2.13, а, б ), вызывающих срез по плоскости, расположенной между силами.
Рис. 2.13. Деформация и напряжения при сдвиге
Срезу предшествует деформация – искажение прямого угла между двумя взаимно-перпендикулярными линиями. При этом на гранях выделенного элемента (рис. 2.13, в ) возникают касательные напряжения. Величина смещения граней называется абсолютным сдвигом . Значение абсолютного сдвига зависит от расстояния h между плоскостями действия сил F . Более полно деформацию сдвига характеризует угол , на который изменяются прямые углы элемента – относительный сдвиг:
. (2.27)
Используя ранее рассмотренный метод сечений, легко убедиться, что на боковых гранях выделенного элемента возникают только перерезывающие силыQ=F , являющиеся равнодействующими касательных напряжений:
Принимая во внимание, что касательные напряжения распределены равномерно по поперечному сечению А , их значение определяется соотношением:
. (2.29)
Экспериментально установлено, что в пределах упругих деформаций величина касательных напряжений пропорциональна относительному сдвигу (закон Гука при сдвиге):
где G – модуль упругости при сдвиге (модуль упругости второго рода).
Между модулями продольной упругости и сдвига существует взаимосвязь
,
где – коэффициент Пуассона.
Приближенные значения модуля упругости при сдвиге, МПа: сталь – 0,8·10 5 ; чугун – 0,45·10 5 ; медь – 0,4·10 4 ; алюминий – 0,26·10 5 ; резина – 4.
2.4.1.1. Расчеты на прочность при сдвиге
Чистый сдвиг в реальных конструкциях реализовать крайне сложно, так как вследствие деформации соединяемых элементов происходит дополнительный изгиб стержня, даже при сравнительно небольшом расстоянии между плоскостями действия сил. Однако в ряде конструкций нормальные напряжения в сечениях малы и ими можно пренебречь. В этом случае условие прочностной надежности детали имеет вид:
, (2.31)
где – допускаемые напряжение на срез, которые обычно назначают в зависимости от величины допускаемого напряжения при растяжении:
– для пластичных материалов при статической нагрузке =(0,5…0,6) ;
– для хрупких – =(0,7 … 1,0) .
2.4.1.2. Расчеты на жесткость при сдвиге
Они сводятся к ограничению упругих деформаций. Решая совместно выражение (2.27)–(2.30), определяют величину абсолютного сдвига:
, (2.32)
где – жесткость при сдвиге.
Кручение
2.4.2.1. Построение эпюр крутящих моментов
2.4.2.2. Деформации при кручении
2.4.2.4. Геометрические характеристики сечений
2.4.2.5. Расчеты на прочность и жесткость при кручении
Кручением называют такой вид деформации, когда в поперечных сечениях возникает единственный силовой фактор – крутящий момент .
Деформация кручения происходит при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси.
2.4.2.1. Построение эпюр крутящих моментов
Для определения напряжений и деформаций бруса строят эпюру крутящих моментов, показывающую распределение крутящих моментов по длине бруса. Применив метод сечений и рассмотрев в равновесии любую часть, станет очевидно, что момент внутренних сил упругости (крутящий момент ) должен уравновесить действие внешних (вращающих) моментов на рассматриваемую часть бруса. Принято момент считать положительным, если наблюдатель смотрит на рассматриваемое сечение со стороны внешней нормали и видит вращающий момент Т , направленным против хода движения часовой стрелки. При противоположном направлении моменту приписывается знак минус.
Например, условие равновесия для левой части бруса имеет вид (рис. 2.14):
– в сечении А-А:
– в сечении Б-Б :
.
Границами участков при построении эпюры являются плоскости действия вращающих моментов .
Рис. 2.14. Расчетная схема бруса (вала) при кручении
2.4.2.2. Деформации при кручении
Если на боковую поверхность стержня круглого поперечного сечения нанести сетку (рис. 2.15, а ) из равноотстоящих окружностей и образующих, а к свободным концам приложить пары сил с моментами Т в плоскостях, перпендикулярных к оси стержня, то при малой деформации (рис. 2.15, б ) можно обнаружить:
Рис. 2.15. Схема деформации при кручении
· образующие цилиндра превращаются в винтовые линии большого шага;
· квадраты, образованные сеткой, превращаются в ромбы, т.е. происходит сдвиг поперечных сечений;
· сечения, круглые и плоские до деформации, сохраняют свою форму и после деформации;
· расстояние между поперечными сечениями практически не изменяется;
· происходит поворот одного сечения относительно другого на некоторый угол.
На основании этих наблюдений теория кручения бруса основана на следующих допущениях:
· поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и после деформации;
· равноотстоящие поперечные сечения поворачиваются относительно друг друга на равные углы;
· радиусы поперечных сечений в процессе деформации не искривляются;
· в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Нормальные напряжения малы. Длину бруса можно считать неизменной;
· материал бруса при деформации подчиняется закону Гука при сдвиге: .
В соответствии с этими гипотезами кручение стержня круглого поперечного сечения представляют как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом сечений.
На стержне круглого поперечного сечения радиусом r , заделанным одним концом и нагруженным вращающим моментом Т на другом конце (рис. 2.16, а ), обозначим на боковой поверхности образующую АD , которая под действием момента займет положение АD 1 . На расстоянии Z от заделки выделим элемент длиной dZ . Левый торец этого элемента в результате кручения повернется на угол , а правый – на угол (). Образующая ВС элемента займет положениеВ 1 С 1 , отклонившись от исходного положения на угол . В силу малости этого угла
Отношение представляет угол закручивания единицы длины стержня и называется относительным углом закручивания . Тогда
Рис. 2.16. Расчетная схема определения напряжений
при кручении стержня круглого поперечного сечения
Принимая во внимание (2.33), закон Гука при кручении можно описать выражением:
. (2.34)
В силу гипотезы, что радиусы круглых поперечных сечений не искривляются, касательные напряжения сдвига в окрестностях любой точки тела, находящейся на расстоянии от центра (рис. 2.16, б ), равны произведению
т.е. пропорциональны расстоянию ее до оси.
Значение относительного угла закручивания по формуле (2.35) может быть найдено из условия, что элементарная окружная сила () на элементарной площадке размером dA , расположенной на расстоянии от оси бруса, создает относительно оси элементарный момент (рис. 2.16, б ):
Сумма элементарных моментов, действующих по всему поперечному сечению А , равна крутящему моменту М Z . Считая, что :
.
Интеграл представляет собой чисто геометрическую характеристику и носит название полярного момента инерции сечения .
Иметь представление о продольных и поперечных деформациях и их связи.
Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета напряжений и перемещений.
Уметь проводить расчеты на прочность и жесткость статически определимых брусьев при растяжении и сжатии.
Деформации при растяжении и сжатии
Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы F (рис. 21.1).
В сопротивлении материалов принято рассчитывать деформации в относительных единицах:
Между продольной и поперечной деформациями существует зависимость
где μ - коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона, -характеристика пластичности материала.
Закон Гука
В пределах упругих деформаций деформации прямо пропорциональны нагрузке:
- коэффициент. В современной форме:
Получим зависимость
Где Е - модуль упругости, характеризует жесткость материала.
В пределах упругости нормальные напряжения пропорциональны относительному удлинению.
Значение Е для сталей в пределах (2 – 2,1) 10 5 МПа. При прочих равных условиях, чем жестче материал, тем меньше он деформируется:
Формулы для расчета перемещений поперечных сечений бруса при растяжении и сжатии
Используем известные формулы.
Относительное удлинение
В результате получим зависимость между нагрузкой, размерами бруса и возникающей деформацией:
Δl - абсолютное удлинение, мм;
σ - нормальное напряжение, МПа;
l - начальная длина, мм;
Е - модуль упругости материала, МПа;
N - продольная сила, Н;
А - площадь поперечного сечения, мм 2 ;
Произведение АЕ называют жесткостью сечения.
Выводы
1. Абсолютное удлинение бруса прямо пропорционально величине продольной силы в сечении, длине бруса и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости.
2. Связь между продольной и поперечной деформациями зависит от свойств материала, связь определяется коэффициентом Пуассона, называемом коэффициентом поперечной деформации.
Коэффициент Пуассона: у стали μ от 0,25 до 0,3; у пробки μ = 0; у резины μ = 0,5.
3. Поперечные деформации меньше продольных и редко влияют на работоспособность детали; при необходимости поперечная деформация рассчитывается через продольную.
где Δа - поперечное сужение, мм;
а о - начальный поперечный размер, мм.
4. 
Закон Гука выполняется в зоне упругих деформаций, которая определяется при испытаниях на растяжение по диаграмме растяжения (рис. 21.2).
При работе пластические деформации не должны возникать, упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами тела. Основные расчеты в сопротивлении материалов проводятся в зоне упругих деформаций, где действует закон Гука.
На диаграмме (рис. 21.2) закон Гука действует от точки 0 до точки 1 .
5. Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение ее с допускаемой (не нарушающей работоспособности бруса) называют расчетом на жесткость.
Примеры решения задач
Пример 1. Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации (рис. 21.3). Брус защемлен, определить перемещение свободного конца.
Решение
1. 
Брус ступенчатый, поэтому следует построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.
Делим брус на участки нагружения, определяем продольные силы, строим эпюру продольных сил.
2. Определяем величины нормальных напряжений по сечениям с учетом изменений площади поперечного сечения.
Строим эпюру нормальных напряжений.
3. На каждом участке определяем абсолютное удлинение. Результаты алгебраически суммируем.
Примечание. Балка защемлена, в заделке возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со свободного конца (справа).
1. Два участка нагружения:
участок 1:
растянут;
участок 2:
 |
Три участка по напряжениям:
 |
Пример 2. Для заданного ступенчатого бруса (рис. 2.9, а) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по его длине, а также определить перемещения свободного конца и сечения С, где приложена сила Р 2 . Модуль продольной упругости материала Е = 2,1 10 5 Н/"мм 3 .
Решение
1. Заданный брус имеет пять участков /, //, III, IV, V (рис. 2.9, а). Эпюра продольных сил показана на рис. 2.9, б.
2. Вычислим напряжения в поперечных сечениях каждого участка:
для первого
для второго
для третьего
для четвертого
для пятого
Эпюра нормальных напряжений построена на рис. 2.9, в.
3. Перейдем к определению перемещений поперечных сечений. Перемещение свободного конца бруса определяется как алгебраическая сумма удлинений (укорочений) всех его участков:
Подставляя числовые значения, получаем
4. Перемещение сечения С, в котором приложена сила Р 2 , определяется как алгебраическая сумма удлинений (укорочений) участков ///, IV, V:
Подставляя значения из предыдущего расчета, получаем
Таким образом, свободный правый конец бруса перемещается вправо, а сечение, где приложена сила Р 2 , - влево.
5. Вычисленные выше значения перемещений можно получить и другим путем, пользуясь принципом независимости действия сил, т. е. определяя перемещения от действия каждой из сил Р 1 ; Р 2; Р 3 в отдельности и суммируя результаты. Рекомендуем учащемуся проделать это самостоятельно.
Пример 3. Определить, какое напряжение возникает в стальном стержне длиной l = 200 мм, если после приложения к нему растягивающих сил его длина стала l 1 = 200,2 мм. Е = 2,1*10 6 Н/мм 2 .
Решение
Абсолютное удлинение стержня
Продольная деформация стержня
Согласно закону Гука
Пример 4. Стенной кронштейн (рис. 2.10, а ) состоит из стальной тяги АВ и деревянного подкоса ВС. Площадь поперечного сечения тяги F 1 = 1 см 2 , площадь сечения подкоса F 2 = 25 см 2 . Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки В, если в ней подвешен груз Q = 20 кН. Модули продольной упругости стали E ст = 2,1*10 5 Н/мм 2 , дерева Е д = 1,0*10 4 Н/мм 2 .
Решение
1. Для определения продольных усилий в стержнях АВ и ВС вырезаем узел В. Предполагая, что стержни АВ и ВС растянуты, направляем возникающие в них усилия N 1 и N 2 от узла (рис. 2.10, 6 ). Составляем уравнения равновесия:
Усилие N 2 получилось со знаком минус. Это указывает на то, что первоначальное предположение о направлении усилия неверно - фактически этот стержень сжат.
2. Вычислим удлинение стальной тяги Δl 1 и укорочение подкоса Δl 2:
Тяга АВ удлиняется на Δl 1 = 2,2 мм; подкос ВС укорачивается на Δl 1 = 7,4 мм.
3. Для определения перемещения точки В мысленно разъединим стержни в этом шарнире и отметим их новые длины. Новое положение точки В определится, если деформированные стержни АВ 1 и В 2 С свести вместе путем их вращения вокруг точек А и С (рис. 2.10, в). Точки В 1 и В 2 при этом будут перемещаться по дугам, которые вследствие их малости могут быть заменены отрезками прямых В 1 В" и В 2 В", соответственно перпендикулярными к АВ 1 и СВ 2 . Пересечение этих перпендикуляров (точка В") дает новое положение точки (шарнира) В.
4. На рис. 2.10, г диаграмма перемещений точки В изображена в более крупном масштабе.
5. Горизонтальное перемещение точки В
Вертикальное
где составляющие отрезки определяются из рис. 2.10, г;
Подставляя числовые значения, окончательно получаем
При вычислении перемещений в формулы подставляются абсолютные значения удлинений (укорочений) стержней.
Контрольные вопросы и задания
1. Стальной стержень длиной 1,5 м вытянулся под нагрузкой на 3 мм. Чему равно относительное удлинение? Чему равно относительное сужение? (μ = 0,25.)
2. Что характеризует коэффициент поперечной деформации?
3. Сформулируйте закон Гука в современной форме при растяжении и сжатии.
4. Что характеризует модуль упругости материала? Какова единица измерения модуля упругости?
5. Запишите формулы для определения удлинения бруса. Что характеризует произведение АЕ и как оно называется?
6. Как определяют абсолютное удлинение ступенчатого бруса, нагруженного несколькими силами?
7. Ответьте на вопросы тестового задания.
Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной l, заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой Р (рис. 2.9, а). Под действием силы Р брус удлиняется на некоторую величину?l, которая называется полным, или абсолютным, удлинением (абсолютной продольной деформацией).
В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряженное состояние, и, следовательно, линейные деформации для всех его точек одинаковы. Поэтому значение можно определить как отношение абсолютного удлинения?l к первоначальной длине бруса l, т.е. . Линейную деформацию при растяжении или сжатии брусьев называют обычно относительным удлинением, или относительной продольной деформацией, и обозначают
Следовательно,
Относительная продольная деформация измеряется в отвлеченных единицах. Деформацию удлинения условимся считать положительной (рис. 2.9, а), а деформацию сжатия - отрицательной (рис. 2.9, б).
Чем больше величина силы, растягивающей брус, тем больше, при прочих равных условиях, удлинение бруса; чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности, опытом установлена следующая зависимость:
Здесь N - продольная сила в поперечных сечениях бруса;
F - площадь поперечного сечения бруса;
Е - коэффициент, зависящий от физических свойств материала.
Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса получаем
Абсолютное удлинение бруса выражается формулой
т.е. абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе.
Впервые закон о прямой пропорциональности между силами и деформациями сформулировал Р. Гук (в 1660 г.).
Более общей является следующая формулировка закона Гука относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса.
Величина Е, входящая в формулы, называется модулем продольной упругости (сокращенно - модулем упругости). Эта величина - физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость. Чем больше значение Е, тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформации.
Произведение EF называется жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии.
Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимающих сил Р обозначить b, а после приложения этих сил b+?b (рис. 9.2), то величина?b будет обозначать абсолютную поперечную деформацию бруса. Отношение является относительной поперечной деформацией.
Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости, относительная поперечная деформацией прямо пропорциональна относительной продольной деформации е, но имеет обратный знак:
Коэффициент пропорциональности в формуле (2.16) зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона, и представляет собой отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, т.е.
Коэффициент Пуассона, наряду с модулем упругости Е, характеризует упругие свойства материала.
Величина коэффициента Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов она имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффициент Пуассона равен 0,25-0,30; для ряда других метало (чугуна, цинка, бронзы, меди) он имеет значения от 0,23 до 0,36.
Таблица 2.1 Значения модуля упругости.
Таблица 2.2 Значения коэффициента поперечной деформации (коэффициент Пуассона)