Raqamning kvadrati bu raqamni ikkinchi darajaga ko'taradigan, ya'ni bu sonni o'ziga bir marta ko'paytiradigan matematik operatsiya natijasidir. Bunday operatsiyani quyidagicha belgilash odatiy holdir: Z2, bu erda Z bizning raqamimiz, 2 - "kvadrat" darajasi. Bizning maqolamiz sizga raqamning kvadratini qanday hisoblashni aytib beradi.
Kvadratni hisoblang
Agar raqam oddiy va kichik bo'lsa, buni sizning boshingizda yoki hammamiz yaxshi biladigan ko'paytirish jadvalidan foydalanib qilish oson. Masalan:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.
Agar raqam katta yoki "katta" bo'lsa, siz maktabda hamma o'rgangan kvadratchalar jadvalidan yoki kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin. Masalan:
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.
Bundan tashqari, yuqoridagi ikkita misol uchun kerakli natijani olish uchun siz ushbu raqamlarni ustunga ko'paytirishingiz mumkin.
Har qanday kasrning kvadratini olish uchun quyidagilar kerak:
- Kasrni (agar kasr butun yoki o'nli kasr bo'lsa) noto'g'ri kasrga aylantiring. Agar kasr to'g'ri bo'lsa, unda hech narsani aylantirishning hojati yo'q.
- Ayiruvchini maxrajga, ayiruvchini esa kasrning soniga ko‘paytiring.
Masalan:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17)2 = (14x14)/(17x17) = 196/289.
Ushbu variantlarning har qandayida eng oson yo'li kalkulyatordan foydalanishdir. Buning uchun sizga kerak:
- Klaviaturada raqamni kiriting
- "Ko'paytirish" belgisi bilan tugmani bosing
- Teng belgisi bilan tugmani bosing
Siz har doim Google kabi Internet qidiruv tizimlaridan foydalanishingiz mumkin. Buni amalga oshirish uchun siz qidiruv tizimi maydoniga mos keladigan so'rovni kiritishingiz va tayyor natijani olishingiz kerak.
Masalan: 9.17 raqamining kvadratini hisoblash uchun qidiruv tizimiga 9.17*9.17 yoki 9.17^2 yoki “9.17 kvadrat” ni kiritish kerak. Ushbu variantlarning har qandayida qidiruv tizimi sizga to'g'ri natija beradi - 84.0889.
Endi siz o'zingizni qiziqtirgan har qanday sonning kvadratini qanday hisoblashni bilasiz, u butun son yoki kasr, katta yoki kichik bo'ladimi!
Bugun biz kalkulyatorsiz katta ifodalarni tezda kvadratga aylantirishni o'rganamiz. Umuman olganda, men o'ndan yuzgacha bo'lgan raqamlarni nazarda tutyapman. Haqiqiy muammolarda katta iboralar juda kam uchraydi va siz o'ndan kam qiymatlarni qanday hisoblashni allaqachon bilasiz, chunki bu oddiy ko'paytirish jadvali. Bugungi darsdagi material juda tajribali talabalar uchun foydali bo'ladi, chunki boshlang'ich talabalar ushbu texnikaning tezligi va samaradorligini shunchaki qadrlamaydilar.
Birinchidan, keling, umuman olganda, nima haqida gaplashayotganimizni aniqlaylik. Misol tariqasida, men odatdagidek, ixtiyoriy sonli ifodani yaratishni taklif qilaman. Aytaylik, 34. Biz uni ustun bilan o'ziga ko'paytiramiz:
\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
1156 - kvadrat 34.
Ushbu usul bilan bog'liq muammoni ikki nuqtada tasvirlash mumkin:
1) yozma hujjatlarni talab qiladi;
2) hisoblash jarayonida xato qilish juda oson.
Bugun biz kalkulyatorsiz, og'zaki va deyarli xatosiz qanday tez ko'paytirishni o'rganamiz.
Shunday qilib, keling, boshlaylik. Ishlash uchun bizga yig'indi va farqning kvadrati formulasi kerak. Keling, ularni yozamiz:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Bu bizga nima beradi? Gap shundaki, 10 dan 100 gacha boʻlgan oraliqdagi istalgan qiymat 10 ga boʻlinadigan $a$ soni va 10 ga boʻlinishning qolgan qismi boʻlgan $b$ soni sifatida ifodalanishi mumkin.
Masalan, 28 ni quyidagicha ifodalash mumkin:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]
Qolgan misollarni xuddi shu tarzda taqdim etamiz:
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]
Bu fikr bizga nimani aytadi? Gap shundaki, summa yoki farq bilan biz yuqorida tavsiflangan hisob-kitoblarni qo'llashimiz mumkin. Albatta, hisob-kitoblarni qisqartirish uchun har bir element uchun eng kichik ikkinchi muddatga ega ifodani tanlashingiz kerak. Masalan, $20+8$ va $30-2$ opsiyalaridan $30-2$ ni tanlashingiz kerak.
Qolgan misollar uchun ham xuddi shunday variantlarni tanlaymiz:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]
Nima uchun tez ko'paytirganda ikkinchi muddatni kamaytirishga harakat qilishimiz kerak? Hammasi yig'indi va farqning kvadratining dastlabki hisob-kitoblari haqida. Gap shundaki, $2ab$ atamasi ortiqcha yoki minus bilan haqiqiy muammolarni hal qilishda hisoblash eng qiyin hisoblanadi. Va agar $a$ koeffitsienti, 10 ning karrali har doim osonlik bilan ko'paytirilsa, u holda $b$ koeffitsienti bilan, ya'ni birdan o'ngacha bo'lgan sonda, ko'p talabalar muntazam ravishda qiyinchiliklarga duch kelishadi.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Biz uch daqiqada sakkizta misolni ko'paytirishni shunday qildik. Bu har bir ifoda uchun 25 soniyadan kam. Aslida, bir oz mashqdan so'ng, siz tezroq hisoblaysiz. Ikki xonali ifodani hisoblash uchun sizga besh-olti soniyadan ko'proq vaqt kerak bo'lmaydi.
Lekin bu hammasi emas. Ko'rsatilgan texnika etarlicha tez va salqin bo'lmaganlar uchun men undan ham ko'proq narsani taklif qilaman tez yo'l ko'paytirish, ammo bu barcha vazifalar uchun ishlamaydi, lekin faqat 10 ning ko'paytmalaridan biriga farq qiladiganlar uchun. Bizning darsimizda to'rtta shunday qiymat mavjud: 51, 21, 81 va 39.
Bu ancha tezroq bo'lib tuyuladi, biz ularni tom ma'noda bir necha qatorda hisoblaymiz. Lekin, aslida, tezlashtirish mumkin va bu quyidagicha amalga oshiriladi. Biz kerakli qiymatga eng yaqin bo'lgan o'nga karrali qiymatni yozamiz. Masalan, 51 ni olaylik. Shuning uchun, keling, elliktasini quraylik:
\[{{50}^{2}}=2500\]
O'nlik ko'paytmalarni kvadratga solish ancha oson. Va endi biz asl iboraga ellik va 51 qo'shamiz, javob bir xil bo'ladi:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
Va shuning uchun bittadan farq qiladigan barcha raqamlar bilan.
Agar biz qidirayotgan qiymat biz hisoblagan qiymatdan katta bo'lsa, natijada olingan kvadratga raqamlar qo'shamiz. Agar kerakli raqam 39 dagi kabi kichikroq bo'lsa, u holda amalni bajarayotganda kvadratdan qiymatni olib tashlash kerak. Kalkulyatordan foydalanmasdan mashq qilaylik:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Ko'rib turganingizdek, barcha holatlarda javoblar bir xil. Bundan tashqari, ushbu texnika har qanday qo'shni qiymatlarga nisbatan qo'llaniladi. Masalan:
\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]
Shu bilan birga, yig'indi va farq kvadratlarining hisob-kitoblarini eslab qolishimiz va kalkulyatordan foydalanishimiz shart emas. Ish tezligi maqtovga sazovor emas. Shuning uchun esda tuting, mashq qiling va amalda foydalaning.
Asosiy nuqtalar
Ushbu texnika bilan siz har qanday narsani osongina ko'paytirishingiz mumkin natural sonlar 10 dan 100 gacha. Bundan tashqari, barcha hisob-kitoblar og'zaki, kalkulyatorsiz va hatto qog'ozsiz amalga oshiriladi!
Birinchidan, 10 ga karrali qiymatlarning kvadratlarini eslang:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end (tekislash)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end (tekislash)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end (tekislash)\]
Qanday qilib tezroq hisoblash mumkin
Lekin bu hammasi emas! Ushbu iboralardan foydalanib, siz bir zumda mos yozuvlarga "qo'shni" raqamlarni kvadratga olishingiz mumkin. Misol uchun, biz 152 (mos yozuvlar qiymati) ni bilamiz, lekin biz 142 ni topishimiz kerak (qo'shni raqam mos yozuvlar qiymatidan bitta kam). Keling, yozamiz:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end (tekislash)\]
E'tibor bering: tasavvuf yo'q! 1 ga farq qiladigan raqamlar kvadratlari aslida ikkita qiymatni ayirish yoki qo'shish orqali mos yozuvlar raqamlarini o'z-o'zidan ko'paytirish orqali olinadi:
\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end (tekislash)\]
Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? Yig'indi (va farq) kvadratining formulasini yozamiz. $n$ bizning mos qiymatimiz bo'lsin. Keyin ular quyidagicha hisoblanadi:
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1) )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]
- bu formula.
\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]
- 1 dan katta raqamlar uchun shunga o'xshash formula.
Umid qilamanki, bu usul sizga matematika bo'yicha barcha yuqori baholi testlar va imtihonlarda vaqtingizni tejaydi. Va bu men uchun hammasi. Ko‘rishguncha!
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini o'rganish: yig'indining kvadrati va ikki ifodaning ayirmasining kvadrati; ikki ifoda kvadratlarining farqi; ikki ifodaning yig‘indisining kubi va ayirmasining kubi; ikki ifoda kublarining yig‘indisi va ayirmalari.
Misollarni yechishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.
Ifodalarni soddalashtirish, koʻpaytmali koʻphadlar va koʻphadlarni standart koʻrinishga keltirish uchun qisqartirilgan koʻpaytirish formulalari qoʻllaniladi. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini yoddan bilish kerak.
a, b R bo'lsin. Keyin:
1. Ikki ifoda yig‘indisining kvadrati ga teng birinchi ifodaning kvadratiga plyus birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasi va ikkinchi ortiqcha ikkinchi ifodaning kvadrati.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Ikki ifoda ayirmasining kvadrati ga teng birinchi ifodaning kvadratiga minus birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasi va ikkinchi ortiqcha ikkinchi ifodaning kvadrati.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Kvadratchalar farqi ikkita ifoda bu ifodalar ayirmasi va ularning yig‘indisi ko‘paytmasiga teng.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Jami kub ikkita ifoda birinchi ifodaning kubiga plyus birinchi ifoda kvadratining uch baravar ko‘paytmasiga, ikkinchisi esa birinchi ifodaning ko‘paytmasini va ikkinchisining kvadratiga plyus ikkinchi ifoda kubining uch baravariga teng.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Farq kubi ikkita ifoda birinchi ifodaning kubini minus birinchi ifoda kvadratining uch karrasini va ikkinchi ortiqcha birinchi ifodaning ko‘paytmasini va ikkinchisining kvadratini minus ikkinchi ifoda kubining uch baravariga teng.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kublar yig'indisi ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar yig‘indisi va bu ifodalar ayirmasining to‘liq bo‘lmagan kvadratining ko‘paytmasiga teng.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Kublarning farqi ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar ayirmasining shu ifodalar yig‘indisining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasiga teng.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Misollarni yechishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.
1-misol.
Hisoblash
a) Ikki ifoda yig‘indisining kvadrati formulasidan foydalanib, biz bor
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Ikki ifodaning ayirmasining kvadrati formulasidan foydalanib, olamiz
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
2-misol.
Hisoblash
Ikki ifoda kvadratlarining farqi uchun formuladan foydalanib, biz olamiz
3-misol.
Ifodani soddalashtiring
(x - y) 2 + (x + y) 2
Ikki ifodaning yig‘indisining kvadrati va ayirmasining kvadrati uchun formulalardan foydalanamiz
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Bitta jadvalda qisqartirilgan ko'paytirish formulalari:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)