Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Trapezium (maʼnolari). Trapezoid (boshqa yunoncha “stol” dan; ... Vikipediya
Men maydoni bilan bog'liq bo'lgan asosiy miqdorlardan biri geometrik shakllar. Eng oddiy hollarda, u tekis figurani to'ldiruvchi birlik kvadratlar soni bilan o'lchanadi, ya'ni tomoni uzunligi bir birlikka teng bo'lgan kvadratlar. P ni hisoblash.......
Grafik konstruktsiyalar yordamida turli masalalarning sonli yechimlarini olish usullari. G.v. (grafik ko'paytirish, tenglamalarning grafik yechimi, grafik integratsiya va boshqalar) takrorlanadigan yoki almashtiriladigan konstruktsiyalar tizimini ifodalaydi... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi
Maydon, geometrik shakllar bilan bog'liq bo'lgan asosiy miqdorlardan biri. Eng oddiy hollarda, u tekis figurani to'ldiruvchi birlik kvadratlar soni bilan o'lchanadi, ya'ni tomoni uzunligi bir birlikka teng bo'lgan kvadratlar. P.ni hisoblash qadim zamonlarda allaqachon ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi
Grin teoremasi yopiq kontur C ustidagi egri chiziqli integral bilan bu kontur bilan chegaralangan D mintaqasi ustidagi qo'sh integral o'rtasidagi bog'lanishni o'rnatadi. Aslida, bu teorema umumiyroq Stokes teoremasining maxsus holatidir. Teorema ... Vikipediyada nomlangan
Orqaga Oldinga
Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.
Kalit so'zlar: integral, egri chiziqli trapezoid, zambaklar bilan chegaralangan raqamlar maydoni
Uskunalar: marker taxtasi, kompyuter, multimedia proyektori
Dars turi: dars-ma'ruza
Dars maqsadlari:
- tarbiyaviy: aqliy mehnat madaniyatini shakllantirish, har bir o'quvchi uchun muvaffaqiyat holatini yaratish va o'rganish uchun ijobiy motivatsiya yaratish; gapirish va boshqalarni tinglash qobiliyatini rivojlantirish.
- rivojlanmoqda: o`quvchida bilimlarni turli vaziyatlarda qo`llashda mustaqil fikrlashni shakllantirish, tahlil qilish va xulosa chiqarish qobiliyatini shakllantirish, mantiqni rivojlantirish, savollarni to`g`ri qo`yish va ularga javob topish qobiliyatini rivojlantirish. Hisoblash va hisoblash ko'nikmalarini shakllantirishni takomillashtirish, taklif etilgan topshiriqlarni bajarish jarayonida o'quvchilarning tafakkurini rivojlantirish, algoritmik madaniyatni rivojlantirish.
- tarbiyaviy: egri chiziqli trapetsiya, integral haqida tushunchalarni shakllantirish, tekis figuralarning maydonlarini hisoblash malakalarini egallash.
O'qitish usuli: tushuntiruvchi va illyustrativ.
Darsning borishi
Oldingi darslarda biz chegaralari ko'pburchak chiziqlar bo'lgan figuralarning maydonlarini hisoblashni o'rgandik. Matematikada egri chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning maydonlarini hisoblash imkonini beruvchi usullar mavjud. Bunday raqamlar egri chiziqli trapezoidlar deb ataladi va ularning maydoni antiderivativlar yordamida hisoblanadi.
Egri chiziqli trapezoid ( slayd 1)
Egri trapezoid - bu funktsiya grafigi bilan chegaralangan figura, ( sh.m.), Streyt x = a Va x = b va x o'qi
Egri trapezoidlarning har xil turlari ( slayd 2)
Biz ko'rib chiqamiz har xil turlari egri chiziqli trapezoidlar va e'tibor: chiziqlardan biri nuqtaga aylanadi, chegaralovchi funktsiya rolini chiziq bajaradi.
Egri trapezoidning maydoni (slayd 3)
Intervalning chap uchini tuzatamiz A, va to'g'ri X biz o'zgartiramiz, ya'ni egri chiziqli trapezoidning o'ng devorini siljitamiz va o'zgaruvchan raqamni olamiz. Funktsiya grafigi bilan chegaralangan o'zgaruvchan egri chiziqli trapezoidning maydoni antiderivativ hisoblanadi. F funktsiya uchun f
Va segmentda [ a; b] funktsiyasi tomonidan hosil qilingan egri chiziqli trapezoidning maydoni f, bu funktsiyaning anti hosilasining ortishiga teng:
1-topshiriq:
Funktsiya grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya maydonini toping: f(x) = x 2 va tekis y = 0, x = 1, x = 2.
Yechim: ( 3-slayd algoritmiga muvofiq)
Funksiya va chiziqlar grafigini chizamiz
Funksiyaning antiderivativlaridan birini topamiz f(x) = x 2 :
Slaydda o'z-o'zini sinab ko'rish
Integral
Funktsiya bilan aniqlangan egri chiziqli trapesiyani ko'rib chiqing f segmentida [ a; b]. Keling, ushbu segmentni bir necha qismlarga ajratamiz. Butun trapezoidning maydoni kichikroq kavisli trapezoidlarning maydonlari yig'indisiga bo'linadi. ( slayd 5). Har bir bunday trapezoidni taxminan to'rtburchaklar deb hisoblash mumkin. Ushbu to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi egri trapezoidning butun maydoni haqida taxminiy fikr beradi. Biz segmentni qanchalik kichikroq bo'lamiz [ a; b], biz maydonni qanchalik aniq hisoblaymiz.
Keling, bu dalillarni formulalar shaklida yozamiz.
Segmentni ajrating [ a; b] nuqta bilan n qismga ajrating x 0 = a, x1,…, xn = b. Uzunlik k- th bilan belgilang xk = xk - xk-1. Keling, yig'indi qilaylik
Geometrik jihatdan bu yig'indi rasmda soyalangan shaklning maydonini bildiradi ( sh.m.)
Shakl yig'indilari funksiya uchun integral yig'indilar deyiladi f. (sh.m.)
Integral summalar maydonning taxminiy qiymatini beradi. Aniq qiymat chegaraga o'tish orqali olinadi. Tasavvur qilaylik, biz segmentning bo'linishini aniqlaymiz [ a; b] shunday qilib, barcha kichik segmentlarning uzunligi nolga intiladi. Keyin tuzilgan shaklning maydoni egri trapezoidning maydoniga yaqinlashadi. Aytishimiz mumkinki, kavisli trapezoidning maydoni integral yig'indilarning chegarasiga teng, Sc.t. (sh.m.) yoki integral, ya'ni,
Ta'rifi:
Funktsiyaning integrali f(x) dan a uchun b integral yig‘indilarning chegarasi deyiladi
= (sh.m.)
Nyuton-Leybnits formulasi.
Esda tutamizki, integral yig'indilarning chegarasi egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng, ya'ni biz yozishimiz mumkin:
Sc.t. = (sh.m.)
Boshqa tomondan, egri trapezoidning maydoni formula bo'yicha hisoblanadi
S k.t. (sh.m.)
Ushbu formulalarni taqqoslab, biz quyidagilarni olamiz:
= (sh.m.)Bu tenglik Nyuton-Leybnits formulasi deb ataladi.
Hisoblash qulayligi uchun formula quyidagicha yoziladi:
= = (sh.m.)Vazifalar: (sh.m.)
1. Nyuton-Leybnits formulasi yordamida integralni hisoblang: ( 5-slaydda tekshiring)
2. Chizma bo'yicha integrallarni tuzing ( 6-slaydda tekshiring)
3. Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini toping: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slayd 7)
Tekislik figuralarining maydonlarini topish ( slayd 8)
Egri trapezoid bo'lmagan figuralar maydonini qanday topish mumkin?
Ikki funktsiya berilsin, ularning grafiklari slaydda ko'rib chiqiladi . (sh.m.) Soyali shaklning maydonini toping . (sh.m.). Ko'rib chiqilayotgan rasm egri trapezoidmi? Maydonning qo'shiluvchanlik xususiyatidan foydalanib, uning maydonini qanday topish mumkin? Ikki kavisli trapezoidni ko'rib chiqing va ulardan birining maydonidan ikkinchisining maydonini ayiring ( sh.m.)
Slaydda animatsiya yordamida hududni topish algoritmini tuzamiz:
- Grafik funktsiyalari
- Grafiklarning kesishish nuqtalarini x o'qiga proyeksiyalang
- Grafiklar kesishganda olingan raqamni soya qiling
- Kesishishi yoki birlashmasi berilgan rasm bo‘lgan egri chiziqli trapetsiyalarni toping.
- Ularning har birining maydonini hisoblang
- Maydonlarning farqini yoki yig‘indisini toping
Og'zaki topshiriq: Soyali figuraning maydonini qanday olish mumkin (animatsiya yordamida ayting, slayd 8 va 9)
Uy vazifasi: Eslatmalar bilan ishlang, № 353 (a), № 364 (a).
Ma'lumotnomalar
- Algebra va tahlilning boshlanishi: kechki (smenali) maktabning 9-11-sinflari uchun darslik / ed. G.D. Glaser. - M: Ma'rifat, 1983 yil.
- Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: o'rta maktabning 10-11-sinflari uchun darslik / Bashmakov M.I. - M: Ma'rifat, 1991 yil.
- Bashmakov M.I. Matematika: boshlang'ich muassasalar uchun darslik. va chorshanba prof. ta'lim / M.I. Bashmakov. - M: Akademiya, 2010 yil.
- Kolmogorov A.N. Algebra va tahlilning boshlanishi: 10-11-sinflar uchun darslik. ta'lim muassasalari / A.N.Kolmogorov. - M: Ta'lim, 2010 yil.
- Ostrovskiy S.L. Dars uchun taqdimotni qanday qilish kerak? / S.L. Ostrovskiy. – M.: 2010 yil 1 sentyabr.
Muammo 1(egri trapezoidning maydonini hisoblash haqida).
Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimi xOyda x o'qi, x = a, x = b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan rasm berilgan (rasmga qarang) (egri trapesiya. Egri trapesiyaning maydonini hisoblash kerak.
Yechim. Geometriya bizga ko'pburchaklar va aylananing ba'zi qismlarini (sektor, segment) maydonlarini hisoblash retseptlarini beradi. Geometrik mulohazalardan foydalanib, biz faqat kerakli maydonning taxminiy qiymatini topishimiz mumkin, bunda quyidagi fikr yuritiladi.
Keling, segmentni ajratamiz [a; b] (egri trapetsiya asosi) n ta teng qismga; bu bo'lim x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 nuqtalari yordamida amalga oshiriladi. Bu nuqtalar orqali Y o'qiga parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz. Keyin berilgan egri chiziqli trapetsiya n ta qismga, n ta tor ustunga bo'linadi. Butun trapezoidning maydoni ustunlar maydonlarining yig'indisiga teng.
Keling, k-ustunni alohida ko'rib chiqaylik, ya'ni. asosi segment bo'lgan kavisli trapezoid. Uni asosi va balandligi f(x k) ga teng bo‘lgan to‘rtburchak bilan almashtiramiz (rasmga qarang). To'rtburchakning maydoni \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \) ga teng, bu erda \(\Delta x_k \) segment uzunligi; Olingan mahsulotni k-ustun maydonining taxminiy qiymati sifatida ko'rib chiqish tabiiydir. 
Agar boshqa barcha ustunlar bilan ham xuddi shunday qilsak, quyidagi natijaga erishamiz: berilgan egri chiziqli trapetsiyaning S maydoni taxminan n ta to‘rtburchakdan iborat pog‘onali figuraning S n maydoniga teng (rasmga qarang):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \nuqtalar + f(x_k)\Delta x_k + \nuqtalar + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Bu yerda yozuvning bir xilligi uchun a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - segment uzunligi, \(\Delta x_1 \) - segment uzunligi va boshqalar; bu holda, yuqorida kelishib olganimizdek, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Shunday qilib, \(S \taxminan S_n \) va bu taxminiy tenglik aniqroq bo'lsa, n qanchalik katta bo'lsa.
Ta'rifga ko'ra, egri chiziqli trapezoidning kerakli maydoni ketma-ketlik chegarasiga (S n) teng deb hisoblanadi:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Muammo 2(nuqtani siljitish haqida)
Moddiy nuqta to'g'ri chiziq bo'ylab harakat qiladi. Tezlikning vaqtga bog'liqligi v = v(t) formula bilan ifodalanadi. Nuqtaning vaqt oralig‘idagi harakatini toping [a; b].
Yechim. Agar harakat bir xil bo'lsa, unda muammo juda oddiy hal qilinadi: s = vt, ya'ni. s = v(b-a). Noto'g'ri harakat qilish uchun siz avvalgi muammoni hal qilish asos bo'lgan g'oyalardan foydalanishingiz kerak.
1) vaqt oralig'ini [a; b] n ta teng qismga.
2) Vaqt davrini ko'rib chiqing va bu vaqt oralig'ida tezlik t k vaqtidagi kabi doimiy bo'lgan deb faraz qiling. Demak, v = v(t k) deb faraz qilamiz.
3) nuqta harakatining taxminiy qiymatini topamiz, bu taxminiy qiymatni s k deb belgilaymiz;
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) siljish s ning taxminiy qiymatini toping:
\(s \taxminan S_n \) qayerda
\(S_n = s_0 + \nuqta + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \nuqta + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Kerakli siljish ketma-ketlikning chegarasiga (S n) teng:
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Keling, xulosa qilaylik. Turli masalalarning yechimlari bir xil matematik modelga keltirildi. Fan va texnikaning turli sohalaridagi ko‘plab muammolar yechim jarayonida bir xil modelga olib keladi. Bu shuni anglatadiki, ushbu matematik model maxsus o'rganilishi kerak.
Aniq integral tushunchasi
y = f(x), uzluksiz (lekin ko'rib chiqilayotgan masalalarda qabul qilinganidek manfiy bo'lmasligi shart emas) funksiya uchun ko'rib chiqilgan uchta masalada qurilgan modelning matematik tavsifini [a; b]:
1) segmentni ajratish [a; b] n ta teng qismga;
2) $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \nuqtalar + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$ summasini tashkil qiling
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ hisoblang
Ma'lumki matematik tahlil bu chegara uzluksiz (yoki qismli uzluksiz) funksiyada mavjudligi isbotlangan. Uni chaqirishadi y = f(x) funksiyaning ma'lum integrali [a segmenti ustida; b] va quyidagicha ifodalanadi:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
a va b raqamlari integratsiya chegaralari deb ataladi (mos ravishda quyi va yuqori).
Keling, yuqorida muhokama qilingan vazifalarga qaytaylik. 1-muammoda berilgan maydon ta’rifi endi quyidagi tarzda qayta yozilishi mumkin:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
bu erda S - yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan egri trapezoidning maydoni. Bu aniq integralning geometrik ma'nosi.
2-masalada berilgan t = a dan t = b gacha bo‘lgan vaqt oralig‘ida v = v(t) tezlik bilan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanuvchi nuqtaning s ko‘chish ta’rifini quyidagicha qayta yozish mumkin:
Nyuton-Leybnits formulasi
Birinchidan, savolga javob beraylik: aniq integral va antiderivativ o'rtasida qanday bog'liqlik bor?
Javobni 2-masalada topish mumkin.Bir tomondan v = v(t) tezlik bilan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanayotgan nuqtaning t = a dan t = b gacha bo‘lgan vaqt oralig‘ida s ko‘chishi quyidagicha hisoblanadi. formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Boshqa tomondan, harakatlanuvchi nuqtaning koordinatasi tezlikka qarshi hosiladir - uni s(t) deb belgilaymiz; demak, siljish s s = s(b) - s(a) formula bilan ifodalanadi. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
bu yerda s(t) v(t) ning anti hosilasidir.
Matematik analiz jarayonida quyidagi teorema isbotlangan.
Teorema. Agar y = f(x) funksiya [a oraliqda uzluksiz bo'lsa; b] bo'lsa, formula haqiqiy hisoblanadi
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
bu yerda F(x) f(x) ning antiderivatividir.
Berilgan formula odatda deyiladi Nyuton-Leybnits formulasi ingliz fizigi Isaak Nyuton (1643-1727) va nemis faylasufi Gotfrid Leybnits (1646-1716) sharafiga, uni bir-biridan mustaqil ravishda va deyarli bir vaqtning o'zida qabul qildi.
Amalda F(b) - F(a) yozish o'rniga \(\chap. F(x)\right|_a^b \) yozuvidan foydalanadilar (u ba'zan deyiladi. ikki marta almashtirish) va shunga mos ravishda Nyuton-Leybnits formulasini quyidagi shaklda qayta yozing:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \chap. F(x)\o'ng|_a^b \)
Aniq integralni hisoblashda avval anti hosilani toping, so'ngra qo'sh almashtirishni bajaring.
Nyuton-Leybnits formulasiga asoslanib, aniq integralning ikkita xossasini olishimiz mumkin.
Mulk 1. Funktsiyalar yig'indisining integrali integrallarning yig'indisiga teng:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Mulk 2. Doimiy omil integral belgisidan chiqarilishi mumkin:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Aniq integral yordamida tekislik figuralarining maydonlarini hisoblash
Integraldan foydalanib, siz nafaqat egri chiziqli trapezoidlarning, balki yanada murakkab turdagi tekis figuralarning maydonlarini ham hisoblashingiz mumkin, masalan, rasmda ko'rsatilgan. P figurasi x = a, x = b to'g'ri chiziqlar va uzluksiz funksiyalar grafiklari y = f(x), y = g (x) bilan chegaralangan va segmentida [a; b] tengsizlik \(g(x) \leq f(x) \) bajariladi. Bunday raqamning S maydonini hisoblash uchun biz quyidagicha harakat qilamiz:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Demak, x = a, x = b to'g'ri chiziqlar va y = f(x), y = g(x) funksiyalar grafiklari bilan chegaralangan figuraning S maydoni segmentda uzluksiz va segmentdagi istalgan x uchun shunday bo'lsin. [a; b] tengsizlik \(g(x) \leq f(x) \) bajariladi, formula bilan hisoblanadi.
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Ayrim funksiyalarning noaniq integrallari (antiderivativlari) jadvali
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$Egri trapezoidning maydoni
Egri chiziqli trapezoid segmentida berilgan grafik bilan chegaralangan raqam [ a, b] uzluksiz va manfiy bo'lmagan funksiya f(x), nuqtalarda chizilgan ordinatalar a Va b, va eksa segmenti ho'kiz nuqtalar orasida a Va b(2-rasmga qarang).
Keling, quyidagi bayonotni isbotlaylik.
Egri trapezoid - kvadrat shakl, maydon P
Isbot. Segmentda uzluksiz [ a, b] funksiya integrallash mumkin, keyin har qanday musbat son uchun ε bunday bo'limni belgilashingiz mumkin T segment [ a, b], qanday farq bor S - s < ε , Qayerda S Va s- mos ravishda bo'limning yuqori va pastki yig'indilari T. Lekin S Va s mos ravishda tengdir S d Va S i, Qayerda S d Va S i- pog'onali figuralarning maydonlari (ko'pburchaklar), ularning birinchisi egri chiziqli trapesiyani o'z ichiga oladi, ikkinchisi esa egri chiziqli trapezoidni o'z ichiga oladi (2-rasmda bu pog'onali figuralar ham ko'rsatilgan). Chunki S d - S i < ε , demak, 1-teoremaga ko'ra, egri chiziqli trapezoid kvadrat shaklida bo'ladi. Yuqori va pastki yig'indilarning D → 0 chegarasi teng bo'lgani uchun s ≤ P ≤ S, keyin maydon P egri chiziqli trapezoidni (1) formuladan foydalanib topish mumkin.
Izoh. Agar funktsiya f(x) uzluksiz va segmentda ijobiy emas [ a, b], u holda integralning qiymati funktsiya grafigi bilan cheklangan manfiy belgi bilan olingan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng bo'ladi. f(x), nuqtalardagi ordinatalar a Va b va eksa segmenti ho'kiz nuqtalar orasida a Va b. Shuning uchun, agar f(x) belgisini o'zgartirsa, u ma'lum bir belgi bilan olingan o'qdan yuqorida va pastda joylashgan egri chiziqli trapetsiyalarning maydonlari yig'indisiga teng bo'ladi. ho'kiz, va birinchisining maydonlari + belgisi bilan, ikkinchisiniki esa - belgisi bilan olinadi.
Egri sektorning maydoni
Egri chiziq bo'lsin L qutbli koordinatalar sistemasida tenglama bilan berilgan r = r(θ ), α ≤ θ ≤ β (3-rasmga qarang) va funksiya r(θ ) uzluksiz va [ segmentida manfiy emas. α , β ]. Egri chiziq bilan chegaralangan tekis shakl L va qutb o'qi bilan burchak hosil qiluvchi ikkita nur α Va β , qo'ng'iroq qilamiz egri chiziqli sektor.
Keling, quyidagi bayonotni isbotlaylik. Egri chiziqli sektor - kvadrat shakl, maydon P formuladan foydalanib hisoblash mumkin
Isbot. Bo'limni ko'rib chiqing T segment [ α , β ] nuqta α = θ 0 < θ 1 < ... < θ n = β va har bir qisman segment uchun [ θ i -1 , θ i] radiuslari minimalga teng bo'lgan aylana sektorlarni qurish r i va maksimal R i qadriyatlar r(θ ) segmentida [ θ i -1 , θ i]. Natijada, biz ikkita fan shaklidagi figurani olamiz, ularning birinchisi egri chiziqli sektorda joylashgan, ikkinchisi esa egri chiziqli sektorni o'z ichiga oladi (bu fan shaklidagi raqamlar 3-rasmda ko'rsatilgan). Ko'rsatilgan fan shaklidagi raqamlar va ularning maydonlari mos ravishda va tengdir. E'tibor bering, bu summalarning birinchisi pastki summadir s belgilangan bo'lim uchun funksiya uchun T segment [ α , β ], ikkinchi yig‘indi esa yuqori yig‘indi hisoblanadi S bir xil funktsiya va bir xil bo'lim uchun. Funktsiya [ segmentida integrallanishi mumkin α , β ], keyin farq kerakli darajada kichik bo'lishi mumkin. Masalan, har qanday sobit uchun ε > 0 bu farqni kichikroq qilish mumkin ε /2. Keling, ichki fanat shaklidagi shaklga ko'pburchakni yozamiz Q i maydoni bilan S i, buning uchun va biz tashqi fan shaklidagi figuraning atrofidagi ko'pburchakni tasvirlaymiz Q d hudud S d, buning uchun * . Shubhasiz, bu ko'pburchaklarning birinchisi egri chiziqli sektorga, ikkinchisi esa uning atrofida chegaralangan. Chunki tengsizliklar to'g'ri
Keling, integral hisoblarning qo'llanilishini ko'rib chiqishga o'tamiz. Ushbu darsda biz odatiy va eng keng tarqalgan vazifani tahlil qilamiz aniq integral yordamida tekislik figurasining maydonini hisoblash. Nihoyat, oliy matematikada ma'no izlayotganlarning barchasi uni topsin. Siz hech qachon bilmaysiz. Biz buni hayotda yaqinlashtirishimiz kerak yozgi kottej uchastkasi elementar funksiyalar va aniq integral yordamida uning maydonini toping.
Materialni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun sizga kerak:
1) Noaniq integralni hech bo'lmaganda o'rta darajada tushuning. Shunday qilib, qo'g'irchoqlar birinchi navbatda darsni o'qishlari kerak Yo'q.
2) Nyuton-Leybnits formulasini qo‘llay olish va aniq integralni hisoblay olish. Sahifada ma'lum integrallar bilan iliq do'stona munosabatlar o'rnatishingiz mumkin Aniq integral. Yechimlarga misollar. "Aniq integral yordamida maydonni hisoblash" vazifasi har doim chizmani qurishni o'z ichiga oladi, shuning uchun sizning bilimingiz va chizish qobiliyatingiz ham tegishli masala bo'ladi. Hech bo'lmaganda, siz to'g'ri chiziq, parabola va giperbolani qurishingiz kerak.
Egri trapezoiddan boshlaylik. Egri trapezoid - bu qandaydir funksiyaning grafigi bilan chegaralangan tekis figura y = f(x), o'q OX va chiziqlar x = a; x = b.
Egri chiziqli trapezoidning maydoni son jihatdan aniq integralga teng
Har qanday aniq integral (mavjud) juda yaxshi geometrik ma'noga ega. Sinfda Aniq integral. Yechimlarga misollar aniq integral son ekanligini aytdik. Va endi yana bir foydali faktni aytish vaqti keldi. Geometriya nuqtai nazaridan aniq integral AREA hisoblanadi. Ya'ni, aniq integral (agar mavjud bo'lsa) geometrik jihatdan ma'lum bir raqamning maydoniga mos keladi. Aniq integralni ko'rib chiqing
Integratsiya
tekislikdagi egri chiziqni aniqlaydi (agar kerak bo'lsa, uni chizish mumkin) va aniq integralning o'zi son jihatdan mos keladigan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.
1-misol
, , , .
Bu odatiy topshiriq bayonoti. Eng muhim nuqta yechimlar - chizmachilik. Bundan tashqari, chizma tuzilishi kerak TO'G'RI.
Chizma qurishda men quyidagi tartibni tavsiya qilaman: boshida barcha to'g'ri chiziqlarni qurish yaxshiroqdir (agar ular mavjud bo'lsa) va faqat Keyin– parabola, giperbola, boshqa funksiyalarning grafiklari. Nuqtama-nuqta qurilish texnikasini mos yozuvlar materialida topish mumkin Grafiklar va xossalar elementar funktsiyalar . U erda siz bizning darsimiz uchun juda foydali materialni topishingiz mumkin - parabolani qanday tezda qurish.
Ushbu muammoda yechim shunday ko'rinishi mumkin.
Keling, chizmani bajaramiz (tenglamaga e'tibor bering y= 0 o'qni belgilaydi OX):
Biz egri trapezoidni soya qilmaymiz, bu erda biz qaysi maydon haqida gapirayotganimiz aniq. Yechim quyidagicha davom etadi:
Segmentda [-2; 1] funktsiya grafigi y = x 2 + 2 joylashgan eksa ustidaOX, Shunung uchun:
Javob: .
Kim aniq integralni hisoblashda va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashda qiynaladi
,
ma'ruzaga murojaat qiling Aniq integral. Yechimlarga misollar. Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javobning haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, biz rasmdagi hujayralar sonini "ko'z bilan" hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 ta bo'ladi, bu haqiqatga o'xshaydi. Agar biz, aytaylik, javobni olgan bo'lsak, aniq: 20 kvadrat birlik, demak, biror joyda xato qilinganligi aniq - 20 ta katak ko'rsatilgan raqamga to'g'ri kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lsa, unda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.
2-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang xy = 4, x = 2, x= 4 va eksa OX.
Bu misol uchun mustaqil qaror. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Agar kavisli trapezoid joylashgan bo'lsa, nima qilish kerak aks ostidaOX?
3-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang y = e-x, x= 1 va koordinata o'qlari.
Yechim: Keling, rasm chizamiz:
Agar egri trapezoid bo'lsa butunlay eksa ostida joylashgan OX , keyin uning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
Ushbu holatda:
.
Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormaslik kerak:
1) Agar sizdan geometrik ma'nosiz oddiygina aniq integralni yechish so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.
2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun hozirgina muhokama qilingan formulada minus paydo bo'ladi.
Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan va shuning uchun biz eng oddiy maktab muammolaridan yanada mazmunli misollarga o'tamiz.
4-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini toping y = 2x – x 2 , y = -x.
Yechim: Avval siz rasm chizishingiz kerak. Hudud masalalari chizmasini qurishda bizni ko'proq chiziqlarning kesishish nuqtalari qiziqtiradi. Parabolaning kesishish nuqtalarini topamiz y = 2x – x 2 va tekis y = -x. Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul analitikdir. Tenglamani yechamiz:
Bu integratsiyaning pastki chegarasi degan ma'noni anglatadi a= 0, integratsiyaning yuqori chegarasi b= 3. Chiziqlarni nuqtama-nuqta qurish ko'pincha foydaliroq va tezroq bo'ladi va integratsiya chegaralari "o'z-o'zidan" aniq bo'ladi. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki batafsil konstruktsiya integratsiya chegaralarini ochib bermasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi. Keling, vazifamizga qaytaylik: avval to'g'ri chiziq, keyin esa parabola qurish oqilonaroq. Keling, rasm chizamiz:
Yana takror aytamizki, nuqtaviy qurishda integratsiya chegaralari ko'pincha "avtomatik" aniqlanadi.
Va endi ish formulasi:
Agar segmentda [ a; b] ba'zi uzluksiz funksiya f(x) dan katta yoki teng ba'zi doimiy funktsiya g(x), keyin mos keladigan raqamning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
Bu erda siz endi raqamning qaerda joylashgani haqida o'ylashingiz shart emas - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda, lekin Qaysi grafik YUQORroq ekanligi muhim(boshqa grafikga nisbatan), va qaysi biri quyida.
Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziq ustida joylashgan va shuning uchun 2 dan. x – x 2 ayirish kerak - x.
Tugallangan yechim quyidagicha ko'rinishi mumkin:
Istalgan raqam parabola bilan cheklangan y = 2x – x 2 tepada va tekis y = -x quyida.
2-segmentda x – x 2 ≥ -x. Tegishli formula bo'yicha:
Javob: .
Aslida, pastki yarim tekislikdagi egri chiziqli trapezoidning maydoni uchun maktab formulasi (3-misolga qarang) formulaning alohida holatidir.
.
Chunki eksa OX tenglama bilan berilgan y= 0 va funksiya grafigi g(x) eksa ostida joylashgan OX, Bu
.
Va endi o'zingizning yechimingiz uchun bir nechta misol
5-misol
6-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini toping
Aniq integral yordamida maydonni hisoblash bilan bog'liq masalalarni yechishda ba'zida kulgili voqea sodir bo'ladi. Chizma to'g'ri bajarilgan, hisob-kitoblar to'g'ri, lekin ehtiyotsizlik tufayli... Noto'g'ri raqamning maydoni topildi.
7-misol
Avval rasm chizamiz:
Biz maydonini topishimiz kerak bo'lgan raqam ko'k rangga ega(shartga diqqat bilan qarang - raqam qanday cheklangan!). Ammo amalda, e'tiborsizlik tufayli ular ko'pincha figuraning soyali maydonini topish kerak deb qaror qilishadi. yashil!
Ushbu misol, shuningdek, ikkita aniq integral yordamida figuraning maydonini hisoblashda foydalidir. Haqiqatan ham:
1) segmentda [-1; 1] eksa ustida OX grafik tekis joylashgan y = x+1;
2) Eksa ustidagi segmentda OX giperbolaning grafigi joylashgan y = (2/x).
Hududlar qo'shilishi mumkinligi (va kerakligi) aniq, shuning uchun:
Javob:
8-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang
Keling, tenglamalarni "maktab" shaklida taqdim qilaylik
va nuqtama-nuqta chizmasini tuzing:
Chizmadan ko'rinib turibdiki, bizning yuqori chegaramiz "yaxshi": b = 1.
Lekin pastki chegara nima?! Bu butun son emasligi aniq, lekin bu nima?
Bo'lishi mumkin, a=(-1/3)? Ammo chizmaning mukammal aniqlik bilan qilinganligiga kafolat qayerda, bu aniq bo'lishi mumkin a=(-1/4). Agar grafikni noto'g'ri tuzgan bo'lsak-chi?
Bunday hollarda siz qo'shimcha vaqt sarflashingiz va integratsiya chegaralarini analitik tarzda aniqlab olishingiz kerak.
Grafiklarning kesishish nuqtalarini topamiz
Buning uchun tenglamani yechamiz:
.
Demak, a=(-1/3).
Keyingi yechim esa ahamiyatsiz. Asosiysi, almashtirish va belgilarda adashmaslik. Bu erda hisob-kitoblar eng oddiy emas. Segmentda
, 
,
tegishli formula bo'yicha:
Javob: 
Darsni yakunlash uchun keling, yana ikkita qiyin vazifani ko'rib chiqaylik.
9-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang
Yechish: Keling, ushbu figurani chizmada tasvirlaymiz.
Nuqtama-nuqta chizmasini chizish uchun siz bilishingiz kerak ko'rinish sinusoidlar. Umuman olganda, barcha elementar funktsiyalarning grafiklarini, shuningdek, ba'zi sinus qiymatlarini bilish foydalidir. Ularni qiymatlar jadvalida topish mumkin trigonometrik funktsiyalar. Ba'zi hollarda (masalan, bu holda) sxematik chizmani qurish mumkin, unda integratsiyaning grafiklari va chegaralari tubdan to'g'ri ko'rsatilishi kerak.
Bu erda integratsiya chegaralari bilan bog'liq muammolar yo'q, ular to'g'ridan-to'g'ri shartlardan kelib chiqadi:
- "x" noldan "pi" ga o'zgaradi. Keling, qo'shimcha qaror qabul qilaylik:
Segmentda funksiya grafigi y= gunoh 3 x eksa ustida joylashgan OX, Shunung uchun:
(1) Sinuslar va kosinuslar qanday qilib toq kuchlarda integratsiyalashganligini darsda ko'rishingiz mumkin Trigonometrik funksiyalarning integrallari. Biz bitta sinusni siqib chiqaramiz.
(2) Biz asosiy trigonometrik identifikatsiyani shaklda ishlatamiz
(3) O'zgaruvchini o'zgartiramiz t=cos x, keyin: o'qdan yuqorida joylashgan, shuning uchun:
.
.
Eslatma: tangens kubining integrali qanday olinganiga e'tibor bering, bu erda asosiy trigonometrik o'ziga xoslikning natijasi ishlatiladi;
.