Comprendre les nombres, en particulier les nombres naturels, est l'une des plus anciennes "compétences" mathématiques. De nombreuses civilisations, même modernes, ont attribué des propriétés mystiques aux nombres en raison de leur grande importance dans la description de la nature. Bien que la science et les mathématiques modernes ne prennent pas en charge ces propriétés « magiques », l'importance de la théorie des nombres est indéniable.

Historiquement, beaucoup de nombres naturels sont apparus pour la première fois, puis très vite des fractions et des nombres irrationnels positifs leur ont été ajoutés. Des nombres nuls et négatifs ont été introduits après ces sous-ensembles de l'ensemble des nombres réels. Le dernier ensemble, l'ensemble des nombres complexes, n'est apparu qu'avec le développement de la science moderne.

En mathématiques modernes, les nombres ne sont pas inscrits dans l'ordre historique, bien que dans un ordre assez proche de celui-ci.

Nombres naturels $ \ mathbb (N) $

L'ensemble des nombres naturels est souvent noté $ \ mathbb (N) = \ lbrace 1,2,3,4 ... \ rbrace $, et est souvent complété par des zéros pour désigner $ \ mathbb (N) _0 $.

Les opérations d'addition (+) et de multiplication ($ \ cdot $) sont définies dans $ \ mathbb (N) $ avec les propriétés suivantes pour tout $ a, b, c \ in \ mathbb (N) $ :

1. $ a + b \ in \ mathbb (N) $, $ a \ cdot b \ in \ mathbb (N) $ l'ensemble $ \ mathbb (N) $ est clos sous les opérations d'addition et de multiplication
2. $ a + b = b + a $, $ a \ cdot b = b \ cdot a $ commutativité
3. $ (a + b) + c = a + (b + c) $, $ (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) $ associativité
4. $ a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c $ distributivité
5. $ a \ cdot 1 = a $ est l'élément neutre pour la multiplication

Puisque l'ensemble $ \ mathbb (N) $ contient un élément neutre pour la multiplication, mais pas pour l'addition, l'ajout de zéro à cet ensemble garantit qu'il comprend un élément neutre pour l'addition.

En plus de ces deux opérations, sur l'ensemble $\mathbb(N)$, les relations "inférieur à" ($

1. $ a b $ trichotomie
2.si $ a \ leq b $ et $ b \ leq a $, alors $ a = b $ antisymétrie
3.si $ a \ leq b $ et $ b \ leq c $, alors $ a \ leq c $ est la transitivité
4.si $ a \ leq b $, alors $ a + c \ leq b + c $
5.si $ a \ leq b $, alors $ a \ cdot c \ leq b \ cdot c $

Entiers $ \ mathbb (Z) $

Exemples d'entiers :
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

La solution de l'équation $ a + x = b $, où $ a $ et $ b $ sont des nombres naturels connus, et $ x $ est un nombre naturel inconnu, nécessite l'introduction d'une nouvelle opération - la soustraction (-). S'il existe un nombre naturel $ x $ qui satisfait cette équation, alors $ x = b-a $. Cependant, cette équation particulière n'a pas nécessairement de solution sur l'ensemble $ \ mathbb (N) $, donc des considérations pratiques nécessitent d'étendre l'ensemble des nombres naturels pour inclure les solutions d'une telle équation. Ceci conduit à l'introduction d'un ensemble d'entiers : $\mathbb(Z) = \lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3...\rbrace $.

Puisque $ \ mathbb (N) \ subset \ mathbb (Z) $, il est logique de supposer que les opérations précédemment introduites $ + $ et $ \ cdot $ et les relations $ 1. $ 0 + a = a + 0 = a $ il y a un élément neutre pour les ajouts
2. $ a + (- a) = (- a) + a = 0 $ il existe un nombre opposé $ -a $ pour $ a $

Propriété 5.:
5.if $ 0 \ leq a $ et $ 0 \ leq b $, alors $ 0 \ leq a \ cdot b $

L'ensemble $ \ mathbb (Z) $ est également fermé sous l'opération de soustraction, c'est-à-dire $ (\ forall a, b \ in \ mathbb (Z)) (a-b \ in \ mathbb (Z)) $.

Nombres rationnels $ \ mathbb (Q) $

Exemples de nombres rationnels :
$ \ frac (1) (2), \ frac (4) (7), - \ frac (5) (8), \ frac (10) (20) ... $

Considérons maintenant des équations de la forme $ a \ cdot x = b $, où $ a $ et $ b $ sont des entiers connus, et $ x $ est inconnu. Pour que la solution soit possible, il faut introduire l'opération de division ($ : $), et la solution prend la forme $ x = b : a $, c'est-à-dire $ x = \ frac (b) (a) $ . Encore une fois, le problème se pose que $ x $ n'appartient pas toujours à $ \ mathbb (Z) $, donc l'ensemble des entiers doit être étendu. Ainsi, on introduit l'ensemble des nombres rationnels $\mathbb(Q)$ avec des éléments $\frac(p)(q)$, où $p\in\mathbb(Z)$ et $q\in\mathbb(N) $. L'ensemble $ \ mathbb (Z) $ est un sous-ensemble dans lequel chaque élément est $ q = 1 $, donc $ \ mathbb (Z) \ subset \ mathbb (Q) $ et les opérations d'addition et de multiplication sont étendues à cet ensemble selon les règles suivantes, qui préservent toutes les propriétés ci-dessus sur l'ensemble $ \ mathbb (Q) $ :
$ \ frac (p_1) (q_1) + \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot q_2 + p_2 \ cdot q_1) (q_1 \ cdot q_2) $
$\frac (p-1) (q_1)\cdot\frac (p_2) (q_2) =\frac (p_1\cdot p_2) (q_1\cdot q_2) $

La division est introduite de cette manière:
$ \ frac (p_1) (q_1) : \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1) (q_1) \ cdot \ frac (q_2) (p_2) $

Sur l'ensemble $ \ mathbb (Q) $, l'équation $ a \ cdot x = b $ a une solution unique pour chaque $ a \ neq 0 $ (la division par zéro n'est pas définie). Cela signifie qu'il existe un inverse $ \ frac (1) (a) $ ou $ a ^ (- 1) $ :
$ (\ forall a \ in \ mathbb (Q) \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace) (\ exist \ frac (1) (a)) (a \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (1) (a) \ cdot a = a) $

L'ordre de l'ensemble $ \ mathbb (Q) $ peut être étendu comme suit :
$ \ frac (p_1) (q_1)

L'ensemble $ \ mathbb (Q) $ a une propriété importante : entre deux nombres rationnels, il y a une infinité d'autres nombres rationnels, par conséquent, il n'y a pas deux nombres rationnels adjacents, contrairement aux ensembles de nombres naturels et entiers.

Nombres irrationnels $ \ mathbb (I) $

Exemples de nombres irrationnels :
$ \ carré (2) \ environ 1.41422135 ... $
$ \ pi \ environ 3.1415926535 ... $

Compte tenu du fait qu'entre deux nombres rationnels quelconques, il existe une infinité d'autres nombres rationnels, il est facile de conclure à tort que l'ensemble des nombres rationnels est si dense qu'il n'est pas nécessaire de l'étendre davantage. Même Pythagore a fait une telle erreur en son temps. Cependant, déjà ses contemporains réfutaient cette conclusion en étudiant les solutions de l'équation $ x \ cdot x = 2 $ ($ x ^ 2 = 2 $) sur l'ensemble des nombres rationnels. Pour résoudre une telle équation, il est nécessaire d'introduire le concept de racine carrée, puis la solution de cette équation a la forme $ x = \ sqrt (2) $. Une équation du type $ x ^ 2 = a $, où $ a $ est un nombre rationnel connu, et $ x $ est une inconnue, n'a pas toujours de solution sur l'ensemble des nombres rationnels, et encore une fois il y a un besoin pour élargir l'ensemble. Un ensemble de nombres irrationnels apparaît, et des nombres tels que $ \ sqrt (2) $, $ \ sqrt (3) $, $ \ pi $ ... appartiennent à cet ensemble.

Nombres réels $ \ mathbb (R) $

L'union des ensembles de nombres rationnels et irrationnels est l'ensemble des nombres réels. Puisque $ \ mathbb (Q) \ subset \ mathbb (R) $, il est à nouveau logique de supposer que les opérations et relations arithmétiques introduites conservent leurs propriétés sur le nouvel ensemble. La preuve formelle de ceci est très difficile, c'est pourquoi les propriétés mentionnées ci-dessus des opérations arithmétiques et des relations sur l'ensemble des nombres réels sont introduites comme des axiomes. En algèbre, un tel objet s'appelle un champ, on dit donc que l'ensemble des nombres réels est un champ ordonné.

Pour que la définition de l'ensemble des nombres réels soit complète, il est nécessaire d'introduire un axiome supplémentaire distinguant les ensembles $\mathbb(Q)$ et $\mathbb(R)$. Supposons que $ S $ est un sous-ensemble non vide de l'ensemble des nombres réels. L'élément $ b \ in \ mathbb (R) $ est appelé la borne supérieure de l'ensemble $ S $ si $ \ forall x \ in S $ est vrai $ x \ leq b $. Alors l'ensemble $ S $ est dit majoré au-dessus. La plus petite borne supérieure de l'ensemble $ S $ est appelée le supremum et est notée $ \ sup S $. Les concepts d'une borne inférieure, d'un ensemble borné par le bas et d'un infinum $ \ inf S $ sont introduits de la même manière. L'axiome manquant est maintenant formulé comme suit :

Tout sous-ensemble non vide et majoré de l'ensemble des nombres réels a un supremum.
Vous pouvez également prouver que le champ de nombres réels défini ci-dessus est unique.

Nombres complexes $ \ mathbb (C) $

Exemples de nombres complexes :
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$ 1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i ... $ où $ i = \ sqrt (-1) $ ou $ i ^ 2 = -1 $

L'ensemble des nombres complexes représente tous les couples ordonnés de nombres réels, c'est-à-dire $\mathbb (C) = \mathbb (R) ^ 2 = \mathbb (R)\times\mathbb (R)$, sur lesquels les opérations de l'addition et la multiplication sont définies de la manière suivante :
$ (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) $
$ (a, b) \ cdot (c, d) = (ac-bd, ad + bc) $

Il existe plusieurs formes de notation pour les nombres complexes, dont la plus courante est $ z = a + ib $, où $ (a, b) $ est une paire de nombres réels, et le nombre $ i = (0,1) $ est appelé une unité imaginaire.

Il est facile de montrer que $ i ^ 2 = -1 $. L'extension de l'ensemble $ \ mathbb (R) $ à l'ensemble $ \ mathbb (C) $ permet de déterminer la racine carrée des nombres négatifs, ce qui a motivé l'introduction d'un ensemble de nombres complexes. Il est aussi facile de montrer qu'un sous-ensemble de l'ensemble $\mathbb(C)$, défini comme $\mathbb(C)_0 =\lbrace(a,0) |a\in\mathbb(R)\rbrace$, satisfait tous les axiomes pour les nombres réels, donc $\mathbb(C)_0 =\mathbb(R)$, soit $R\subset\mathbb(C)$.

La structure algébrique de l'ensemble $ \ mathbb (C) $ par rapport aux opérations d'addition et de multiplication a les propriétés suivantes :
1.commutabilité de l'addition et de la multiplication
2.associativité de l'addition et de la multiplication
3. 0 $ + i0 $ - élément neutre pour l'addition
4. 1 $ + i0 $ - élément neutre pour la multiplication
5. la multiplication est distributive par rapport à l'addition
6. il existe un seul élément inverse pour l'addition et la multiplication.

Que sont les nombres irrationnels ? Pourquoi s'appellent-ils ainsi ? Où sont-ils utilisés et quels sont-ils? Peu de gens peuvent répondre à ces questions sans hésitation. Mais en fait, les réponses à ces questions sont assez simples, même si tout le monde n'en a pas besoin et dans des situations très rares.

Essence et désignation

Les nombres irrationnels sont infinis non périodiques La nécessité d'introduire ce concept est due au fait que les concepts précédemment existants de nombres réels ou réels, entiers, naturels et rationnels n'étaient pas suffisants pour résoudre les nouveaux problèmes émergents. Par exemple, pour déterminer à quel point est le carré 2, vous devez utiliser des fractions décimales infinies non périodiques. De plus, bon nombre des équations les plus simples n'ont pas non plus de solution sans introduire le concept de nombre irrationnel.

Cet ensemble est noté I. Et, comme il est déjà clair, ces valeurs ne peuvent pas être représentées comme une simple fraction, au numérateur dont il y aura un entier, et au dénominateur -

Pour la première fois, d'une manière ou d'une autre, les mathématiciens indiens ont été confrontés à ce phénomène au 7ème siècle lorsqu'il a été découvert que les racines carrées de certaines quantités ne pouvaient pas être indiquées explicitement. Et la première preuve de l'existence de tels nombres est attribuée au Pythagoricien Hippase, qui l'a fait en étudiant un triangle rectangle isocèle. Certains scientifiques ayant vécu avant notre ère ont apporté une contribution sérieuse à l'étude de cet ensemble. L'introduction du concept de nombres irrationnels a entraîné une révision du système mathématique existant, c'est pourquoi ils sont si importants.

origine du nom

Si ratio en latin est "fraction", "ratio", alors le préfixe "ir"
donne à ce mot le sens inverse. Ainsi, le nom de l'ensemble de ces nombres suggère qu'ils ne peuvent pas être corrélés avec des nombres entiers ou fractionnaires, ils ont une place distincte. Cela découle de leur essence.

Place au classement général

Les nombres irrationnels, ainsi que les nombres rationnels, appartiennent au groupe des nombres réels ou réels, qui à leur tour sont complexes. Il n'y a pas de sous-ensembles, cependant, il existe des variétés algébriques et transcendantales, qui seront discutées ci-dessous.

Propriétés

Étant donné que les nombres irrationnels font partie de l'ensemble des nombres réels, toutes leurs propriétés étudiées en arithmétique leur sont applicables (on les appelle aussi lois algébriques de base).

a + b = b + a (commutabilité) ;

(a + b) + c = a + (b + c) (associativité);

a + (-a) = 0 (existence du nombre opposé) ;

ab = ba (loi de déplacement) ;

(ab) c = a (bc) (distributivité);

a (b + c) = ab + ac (loi de distribution) ;

a x 1 / a = 1 (existence d'une réciproque) ;

La comparaison est également effectuée conformément aux lois et principes généraux :

Si a> b et b> c, alors a> c (la transitivité de la relation) et. etc.

Bien sûr, tous les nombres irrationnels peuvent être convertis en utilisant l'arithmétique de base. Il n'y a pas de règles particulières pour cela.

De plus, l'action de l'axiome d'Archimède s'étend aux nombres irrationnels. Il dit que pour deux quantités quelconques a et b, il est vrai qu'en prenant a comme terme un nombre suffisant de fois, on peut dépasser b.

Usage

Malgré le fait que dans la vie ordinaire, vous n'avez pas souvent à y faire face, les nombres irrationnels ne peuvent pas être comptés. Il y en a beaucoup, mais ils sont presque invisibles. Nous sommes partout entourés de nombres irrationnels. Des exemples familiers à tous sont pi, égal à 3.1415926 ..., ou e, qui est essentiellement la base du logarithme népérien, 2.718281828 ... En algèbre, trigonométrie et géométrie, ils doivent être utilisés constamment. Soit dit en passant, le sens célèbre du "nombre d'or", c'est-à-dire le rapport à la fois de la plus grande partie sur la moindre, et vice versa, est également

fait référence à cet ensemble. L'"argent" moins connu - aussi.

Sur la droite numérique, elles sont très densément situées, de sorte qu'entre deux quantités quelconques rapportées à l'ensemble des quantités rationnelles, une irrationnelle est nécessairement rencontrée.

Jusqu'à présent, il y a beaucoup de problèmes non résolus associés à cet ensemble. Il existe des critères tels que la mesure de l'irrationalité et la normalité d'un nombre. Les mathématiciens continuent d'examiner les exemples les plus significatifs d'appartenance à un groupe ou à un autre. Par exemple, on considère que e est un nombre normal, c'est-à-dire que la probabilité que des chiffres différents apparaissent dans son enregistrement est la même. Quant à pi, des recherches sont en cours à son sujet. La mesure de l'irrationalité est une quantité qui montre à quel point un nombre particulier peut être approximé par des nombres rationnels.

Algébrique et transcendantale

Comme déjà mentionné, les nombres irrationnels sont classiquement divisés en algébriques et transcendantaux. Conditionnellement, puisque, à proprement parler, cette classification sert à diviser l'ensemble C.

Cette désignation masque les nombres complexes, qui incluent réel ou réel.

Ainsi, algébrique est une valeur qui est une racine d'un polynôme qui n'est pas identiquement zéro. Par exemple, la racine carrée de 2 serait dans cette catégorie car c'est la solution de l'équation x 2 - 2 = 0.

Tous les autres nombres réels qui ne satisfont pas à cette condition sont dits transcendantaux. Cette variété comprend les exemples les plus célèbres et déjà mentionnés - le nombre pi et la base du logarithme népérien e.

Fait intéressant, ni l'un ni le second n'ont été déduits à l'origine par les mathématiciens à ce titre, leur irrationalité et leur transcendance ont été prouvées de nombreuses années après leur découverte. Pour pi, la preuve a été présentée en 1882 et simplifiée en 1894, mettant fin à la controverse de 2500 ans sur le problème de la quadrature du cercle. Ce n'est pas encore entièrement compris, donc les mathématiciens modernes ont quelque chose sur quoi travailler. À propos, le premier calcul suffisamment précis de cette valeur a été effectué par Archimède. Avant lui, tous les calculs étaient trop approximatifs.

Pour e (nombre d'Euler ou de Napier), la preuve de sa transcendance a été trouvée en 1873. Il est utilisé pour résoudre des équations logarithmiques.

D'autres exemples incluent les valeurs sinus, cosinus et tangente pour toutes les valeurs algébriques non nulles.

Les mathématiciens antiques savaient déjà avec un segment de longueur unitaire : ils connaissaient, par exemple, l'incommensurabilité de la diagonale et du côté d'un carré, ce qui équivaut à l'irrationalité d'un nombre.

Les irrationnels sont :

Exemples de preuve d'irrationalité

Racine de 2

Supposons le contraire : rationnel, c'est-à-dire représenté comme une fraction irréductible, où et sont des nombres entiers. Mettons au carré l'égalité supposée :

.

Par conséquent, il s'ensuit que même signifie même et. Laissez où est le tout. Puis

Par conséquent, même signifie même et. Nous avons cela et sommes pairs, ce qui contredit l'irréductibilité de la fraction. Cela signifie que l'hypothèse initiale était fausse et - un nombre irrationnel.

Logarithme binaire de 3

Supposons le contraire : rationnel, c'est-à-dire représenté par une fraction, où et sont des nombres entiers. Depuis, et peut être choisi positif. Puis

Mais pair et impair. On obtient une contradiction.

e

Histoire

Le concept de nombres irrationnels a été implicitement adopté par les mathématiciens indiens au 7ème siècle avant JC, lorsque Manava (c. 750 avant JC - c. 690 avant JC) a compris que les racines carrées de certains nombres naturels, tels que 2 et 61 ne peuvent pas être explicitement exprimées .

La première preuve de l'existence de nombres irrationnels est généralement attribuée à Hippase de Métaponte (vers 500 av. J.-C.), un Pythagoricien qui a trouvé cette preuve en étudiant les longueurs des côtés du pentagramme. A l'époque des Pythagoriciens, on croyait qu'il existe une seule unité de longueur, suffisamment petite et indivisible, qui entre dans tout segment un nombre entier de fois. Cependant, Hippase a prouvé qu'il n'y a pas une seule unité de longueur, puisque l'hypothèse de son existence conduit à une contradiction. Il a montré que si l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle contient un nombre entier de segments unitaires, alors ce nombre doit être à la fois pair et impair. La preuve ressemblait à ceci :

• Le rapport de la longueur de l'hypoténuse à la longueur de la jambe d'un triangle rectangle isocèle peut être exprimé comme une:b, où une et b choisi comme le plus petit possible.
• Par le théorème de Pythagore : une² = 2 b².
• Comme une² même, une doit être pair (puisque le carré d'un nombre impair serait impair).
• Parce que le une:b irréductible b doit être étrange.
• Comme une même, dénoter une = 2oui.
• Puis une² = 4 oui² = 2 b².
• b² = 2 oui², donc b Est pair, alors b même.
• Cependant, il a été prouvé que b impair. Contradiction.

Les mathématiciens grecs appelaient ce rapport de quantités incommensurables aalogos(indicible), cependant, selon les légendes, ils n'ont pas accordé à Hippas le respect qu'il méritait. La légende raconte qu'Hippase a fait une découverte lors d'un voyage en mer et a été jeté par-dessus bord par d'autres pythagoriciens "pour avoir créé un élément de l'univers qui nie la doctrine selon laquelle toutes les entités de l'univers peuvent être réduites à des nombres entiers et leurs relations". La découverte d'Hippase a posé un sérieux problème aux mathématiques pythagoriciennes, détruisant l'hypothèse sous-jacente à toute la théorie selon laquelle les nombres et les objets géométriques sont un et indivisible.

voir également

Remarques (modifier)

Systèmes de numérotation
Compte multitudes	Entiers ()

Beaucoup de nombres irrationnels sont généralement indiqués par une lettre latine majuscule I (\ displaystyle \ mathbb (I)) en gras, pas de remplissage. Ainsi: I = R Q (\ displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ backslash \ mathbb (Q)), c'est-à-dire que l'ensemble des nombres irrationnels est la différence entre les ensembles de nombres réels et rationnels.

Les mathématiciens antiques connaissaient déjà l'existence de nombres irrationnels, plus précisément de segments incommensurables à un segment de longueur unitaire : ils connaissaient, par exemple, l'incommensurabilité de la diagonale et du côté d'un carré, ce qui équivaut à l'irrationalité d'un numéro.

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  Les irrationnels sont :

  Exemples de preuve d'irrationalité

  Racine de 2

  Supposons le contraire : 2 (\ displaystyle (\ sqrt (2))) rationnel, c'est-à-dire représenté comme une fraction m n (\ style d'affichage (\ frac (m) (n))), où m (\ style d'affichage m) est un nombre entier, et n (\ style d'affichage n)- entier naturel .

  Mettons au carré l'égalité supposée :

  2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ displaystyle (\ sqrt (2)) = (\ frac (m) (n)) \ Rightarrow 2 = (\ frac (m ^ (2 )) (n ^ (2))) \ Flèche droite m ^ (2) = 2n ^ (2)).

  Histoire

  Antiquité

  Le concept de nombres irrationnels a été implicitement adopté par les mathématiciens indiens au 7ème siècle avant JC, lorsque Manava (c. 750 avant JC - c. 690 avant JC) a compris que les racines carrées de certains nombres naturels, tels que 2 et 61, ne peuvent pas être explicitement exprimé [ ] .

  La première preuve de l'existence de nombres irrationnels est généralement attribuée à Hippase de Métaponte (vers 500 av. J.-C.), un Pythagoricien. A l'époque des Pythagoriciens, on croyait qu'il existe une seule unité de longueur, suffisamment petite et indivisible, qui est un nombre entier de fois inclus dans tout segment [ ] .

  Il n'y a pas de données exactes sur l'irrationalité dont le nombre a été prouvé par Hippase. Selon la légende, il l'a trouvé en étudiant les longueurs des côtés du pentagramme. Par conséquent, il est raisonnable de supposer que c'était le nombre d'or [ ] .

  Les mathématiciens grecs appelaient ce rapport de quantités incommensurables aalogos(indicible), cependant, selon les légendes, ils n'ont pas accordé à Hippas le respect qu'il méritait. La légende raconte qu'Hippase a fait une découverte lors d'un voyage en mer et a été jeté par-dessus bord par d'autres pythagoriciens "pour avoir créé un élément de l'univers qui nie la doctrine selon laquelle toutes les entités de l'univers peuvent être réduites à des nombres entiers et leurs relations". La découverte d'Hippase a posé un sérieux problème aux mathématiques pythagoriciennes, détruisant l'hypothèse sous-jacente à toute la théorie selon laquelle les nombres et les objets géométriques sont un et indivisibles.

  Cette propriété joue un rôle important dans la résolution des équations différentielles. Ainsi, par exemple, la seule solution de l'équation différentielle

  

  est la fonction

  

  où c est une constante arbitraire.

  • 1. Nombre e irrationnel et même transcendantal. Sa transcendance n'a été prouvée qu'en 1873 par Charles Hermite. Il est entendu que e- un nombre normal, c'est-à-dire que la probabilité d'apparition de chiffres différents dans son enregistrement est la même.
  • 2. Nombre e est un nombre calculable (et donc arithmétique).

  la formule d'Euler, en particulier

  

  5. t.N. "Intégrale de Poisson" ou "Intégrale de Gauss"

  

  8. Présentation du catalan :

  

  9. Représentation par l'œuvre :

  

  10. Par les numéros de Bell :

  

  11. La mesure de l'irrationalité d'un nombre e est égal à 2 (qui est la plus petite valeur possible pour les nombres irrationnels).

  Preuve d'irrationalité

  Faisons comme si

  où a et b sont des nombres naturels. Considérant cette égalité et considérant le développement en série :

  

  on obtient l'égalité suivante :

  

  Nous représentons cette somme comme la somme de deux termes, dont l'un est la somme des membres de la série par m de 0 à une, et la seconde est la somme de tous les autres membres de la série :

  

  Déplaçons maintenant la première somme du côté gauche de l'égalité :

  

  Nous multiplions les deux côtés de l'égalité résultante par. On a

  Simplifions maintenant l'expression résultante :

  

  Considérons le membre de gauche de l'égalité résultante. Évidemment, le nombre est entier. Un nombre est aussi un entier, puisque (il s'ensuit que tous les nombres de la forme sont des entiers). Ainsi, le côté gauche de l'égalité résultante est un entier.

  Passons maintenant au côté droit. Cette somme a la forme

  
  

  D'après la caractéristique de Leibniz, cette série converge, et sa somme S est un nombre réel entre le premier terme et la somme des deux premiers termes (avec signes), c'est-à-dire

  Ces deux nombres sont compris entre 0 et 1. Par conséquent, c'est-à-dire - le côté droit de l'égalité - ne peut pas être un entier. On a une contradiction : un entier ne peut pas être égal à un nombre qui n'est pas un entier. Cette contradiction prouve que le nombre e n'est pas rationnel et donc irrationnel.