В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, \(\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{7π}{4}, 10π, -\frac{29π}{6}\)) разбирается в .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки - положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:

Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» - точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности - каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли

Определение 2

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.

Рисунок 1. Вписанная окружность

Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)

Теорема 1

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK.\ $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M\ и\ L$. Так как $OM,OK\ и\ OL$ - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Определение 3

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).

Определение 4

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

Рисунок 3. Описанная окружность

Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)

Теорема 2

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.

Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна ${180}^0$.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна ${180}^0$, то около него можно описать окружность.

Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности

Пример 1

В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:

Рисунок 5.

Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора ${BM}^2={BC}^2-{MC}^2,\ BM=\sqrt{{BC}^2-\frac{{AC}^2}{4}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$. $OM=OH=r$ -- искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4\ см$. Следовательно, $BH=5-4=1\ см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:

\[{(3-r)}^2=r^2+1\] \ \ \

Ответ: $\frac{4}{3}$.

Определение. Окружностью называется множество всех точек плоскости, для которых расстояние от данной точки, называемой центром окружности, есть величина постоянная, называемая радиусом окружности.

Выведем уравнение окружности. Пусть точка  произвольная точка окружности радиуса . Введем прямоугольную систему координат, у которой начало совпадает с центром окружности. В этом случае точкаимеет координаты
. По определению окружности
. Учитывая, что
, получим
, или

. (1.27)

Выражение (1.27) называется уравнением окружности с центром в точке
и радиуса.

Покажем, что любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.27), принадлежит окружности с центром в точке
и радиуса.

Пусть координаты точки
удовлетворяют уравнению (1.27). Тогда, т. е.
является точкой окружности.

С учетом формулы преобразования прямоугольных координат точки при параллельном переносе осей получим уравнение окружности с центром в точке
и радиуса:

П р и м е р 13. Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат, центр которой находится на одинаковом расстоянии от параллельных прямых
и
.

Решение. Для того чтобы составить уравнение окружности вида , необходимо найти координаты
ее центра
и радиус. Искомая окружность касается прямых
и
, поэтому радиусравен половине расстояниямежду этими прямыми. Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от произвольной точки одной прямой до другой прямой. На прямой, задаваемой уравнением
, возьмем произвольную точку
, тогда
. По формуле (1.15) имеем:
. Таким образом,
. Центр окружности равноудален от заданных прямых, поэтому координаты
ее центра
должны удовлетворять равенству
, т. е.
. Известно, что окружность проходит через начало координат, поэтому. Получили систему уравнений относительно координат центра
окружности:
. Ее решениями будут
. Итак, существует два уравнения, удовлетворяющих условиям задачи:
.

1.12. Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Выберем прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы и, а начало координат
совпадало с серединой отрезка
. Обозначим
,
,
, где, фокальные радиусы (расстояния от точки до фокусов) точки эллипса. Тогда фокусы иимеют координаты
,
.

Пусть
 произвольная точка эллипса. Имеем:
,
. Из определения эллипса

, (1.29)

или  искомое уравнение эллипса, которое неудобно для использования. Из последнего равенства следует, что .Так как
, то можем обе части уравнения возвести в квадрат и после эквивалентных преобразований получим:
. Следовательно,. Введем новую переменную
. Имеем:
. Из этого равенства следует, что

. (1.30)

Уравнение (1.30) называется каноническим (простейшим) уравнением эллипса. Это уравнение является уравнением второго порядка. Таким образом, любая точка эллипса, удовлетворяющая уравнению (1.29), удовлетворяет и уравнению (1.30). Докажем, что все точки плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.30), являются точками эллипса, т. е. их координаты удовлетворяют уравнению (1.29).

Для фокального радиуса выполняется соотношение
. Из уравнения (1.30) имеем:
. Поэтому
, или
. Аналогично находим, что
. Следовательно,
.

Эллипс симметричен относительно координатных осей, так как содержит только четные степени и, и относительно начала координат. Оси симметрии эллипса называются его осями, а центр симметрии центром эллипса.

Эллипс пересекает координатные оси в точках
,
,
,
. Эти точки называются вершинами эллипса. При
эллипс вырождается в окружность радиусоми центром в начале координат. Вершины эллипса ограничивают на осях отрезки длиной
и
, причем
(это следует из того, что
).

Величины иназываются большой и малой полуосями эллипса, оси эллипса соответственно большой и малой осью.

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется отношение, где половина расстояния между фокусами,  большая полуось, т. е.

. (1.31)

Учитывая, что
, получим
. Так как

, то
. Если
, т. е. эллипс приближается к окружности, то
. Если
, ак нулю не стремится, то эллипс вытянут вдоль большой оси. Таким образом, эксцентриситет эллипса характеризует меру его вытянутости вдоль большой оси.

Если фокусы эллипса
и
расположены на оси ординат, то в этом случае
и большой является полуось. Уравнение эллипса также имеет вид (1.30), но
, а его эксцентриситет вычисляется по формуле
.

П р и м е р 14. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между его фокусами
и эксцентриситет
.

Решение. Половина расстояния между фокусами
. Фокусы эллипса расположены на оси абсцисс, поэтому большой полуосью является. Из (1.31) следует, что
. Тогда. Таким образом, уравнение эллипса имеет вид
.

П р и м е р 15. Дан эллипс
. Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет.

Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду. Для этого обе части уравнения разделим на 45, получим
. Таким образом, его полуось
,
. Большой полуосью является полуось, поэтому фокусы эллипса расположены на оси ординат и

, следовательно, фокусы находятся в точках
и
. Эксцентриситет эллипса равен отношению половины расстояния между фокусами к большой полуоси, т. е.
.

П р и м е р 16. Вычислить площадь четырехугольника
, две вершиныикоторого лежат в фокусах эллипса
, две другиеи
совпадают с концами его малой оси.

Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид
, поэтому
,
. Следовательно, вершины четырехугольникаи
имеют соответственно координаты
и
. Найдем координаты вершини. Так как
, то
,
. Полученный четырехугольник симметричен относительно координатных осей и относительно начала координат, следовательно,

.

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Пусть точка - центр, а точка
, - произвольная точка окружности. Тогда

где R называется радиусом окружности, или в развернутом виде

Уравнение (4) называется каноническим уравнением окружности.

Замечание. Если в уравнении (4) обозначить
,
и разделить обе части на
, получим уравнение
. Т.о. окружность есть частный случай эллипса с равными полуосями.

7.1.3. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами , есть величина постоянная.

Пусть
, - фокусы, расстояние
,M – произвольная точка гиперболы. Тогда, согласно определения, имеем

, (5)

где а – заданная величина.

Введем систему координат, указанным ниже на рисунке способом.

тогда соотношение (5) после алгебраических преобразований и исключения иррациональности можно представить в виде:

(6)

которое и называется каноническим уравнением гиперболы. В данной системе координат и указанном уравнении (6) график гиперболы имеет вид:

Если же уравнение гиперболы имеет вид

(7)

то соответственно ее график имеет вид:

Параметры иназывают полуосями,- действительной,- явной. Параметр

(8)

называется эксцентриситетом . Он характеризует форму гиперболы.

Отметим некоторые свойства гиперболы.

1) Гипербола имеет, как минимум, две оси симметрии и центр симметрии .

Действительно, точка (0;0) при любом расположении графика гиперболы в канонической системе координат является центром симметрии. Роль осей симметрии играют оси ОХ и ОУ .

2) Гипербола пересекает одну из осей симметрии в двух точках, называемых вершинами , с другой же осью симметрии гипербола не пересекается .

Такие, на первом графике вершины гиперболы (6) расположены на оси ОХ, это точки
и
, на втором графике (7) - на осиОУ ,-это
и
.

3) Гипербола имеет асимптоты, то есть прямые, к которым гипербола неограниченно приближается , если точка, скользящая вдоль нее, уходит в бесконечность.

Для гиперболы с каноническим уравнением
асимптоты описываются уравнениями

и
. (9)

Для гиперболы, заданной уравнением
асимптоты задаются прямыми

. (10)

Фокусы гиперболы
(или
для
) расположены на одной оси с её вершинами. Здесь

. (11)

Оптическое свойство гиперболы. Луч, выходящий из одного из фокусов гиперболы, после своего отражения от кривой идет так, как - будто он вышел из второго фокуса.

7.1.4. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости равноудаленных от фиксированной точки, называемой фокусом , и данной прямой, которая называется директрисой.

Пусть прямая l , - директриса, - фокус и удалён от директрисы на расстояние p , а точка М , - произвольная точка параболы. Тогда

Выберем систему координат указанным ниже образом.

.

Тогда уравнение параболы, после исключения иррациональности примет вид

,
(12)

которое и называется каноническим уравнением параболы . В данной системе координат и указанном уравнении (12) график параболы имеет вид:

Для найденного канонического уравнения параболы уравнение директрисы

,
(13)

а фокус расположен в точке
.

Отметим одно из свойств.

Парабола имеет одну ось симметрии.

В выбранной выше системе координат осью симметрии параболы является ОХ.

Замечание. 1. Если фокус имеет координаты
,а директриса описывается уравнением
, то уравнение параболы принимает вид

. (14)

Если же фокус расположить на оси 0y , то уравнение примет вид

или
, (15)

в зависимости от расположения директрисы (
или
, соответственно). Эти уравнения также называютсяканоническими . Отмеченные особенности позволяют однозначно определять расположение параболы и её характеристические признаки (координаты фокуса, уравнение директрисы).

Оптическое свойство параболы. Лучи, параллельные оси параболы, после отражения от кривой проходят через ее фокус.

Что такое единичная окружность . Единичная окружность -- это окружность с радиусом, равным 1, и с центром в начале координат. Вспомните, что уравнение окружности выглядит как x 2 +y 2 =1. Такая окружность может быть использована для нахождения некоторых "особых" тригонометрических соотношений, а также при построении графических изображений. С помощью нее и заключенной в ней линии можно оценивать и численные значения тригонометрических функций.

Запомните 6 тригонометрических соотношений. Помните, что

• sinθ=противолежащий катет/гипотенуза
• cosθ=прилежащий катет/гипотенуза
• tgθ=противолежащий катет/прилежащий катет
• cosecθ=1/sin
• secθ=1/cos
• ctgθ=1/tg.

Что такое радиан . Радиан -- одна из мер для определения величины угла. Один радиан -- это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса. Заметьте, что при этом величина и расположение окружности не играют никакой роли. Следует также знать, чему равно число радиан для полной окружности (360 градусов). Вспомните, что длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза. Поскольку по определению 1 радиан -- это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Умейте перевести радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

• 2π радиан=360 градусов
• 1 радиан=(360/2π) градусов
• 1 радиан=(180/π) градусов
• 360 градусов=2π радиан
• 1 градус=(2π/360) радиан
• 1 градус=(π/180) радиан

Выучите "особые" углы. Эти углы в радианах составляют π/6, π/3, π/4, π/2, π и произведения данных величин (например, 5π/6)

Изучите и запомните значения тригонометрических функций для особых углов. Для определения их величин вы должны взглянуть на единичную окружность. Вспомните об отрезке известной длины, заключенном в единичной окружности. Точка на окружности соответствует количеству радиан в образованном угле. Например, углу π/2 соответствует точка на окружности, радиус к которой образует с положительным горизонтальным радиусом угол величиной π/2. Для нахождения значения тригонометрической функции какого-либо угла определяются координаты точки, соответствующей этому углу. Гипотенуза всегда равна единице, поскольку она является радиусом круга, и так как любое число, поделенное на 1, равно самому себе, а противоположный катет равен длине вдоль оси Оy, отсюда следует, что значение синуса какого-либо угла -- это координата y соответствующей точки на окружности. Значение косинуса можно найти схожим образом. Косинус равен длине прилежащего катета, деленной на длину гипотенузы; поскольку последняя равна единице, а длина прилежащего катета равна координате x точки на окружности, отсюда следует, что косинус равен значению этой координаты. Найти тангенс немного сложнее. Тангенс угла прямоугольного треугольника равен противолежащему катету, деленному на прилежащий. В данном случае, в отличие от предыдущих, частное не является константой, поэтому вычисления несколько усложняются. Вспомним, что длина противолежащего катета равна координате y, а прилежащего -- координате x точки на единичной окружности; подставив эти значения, получим, что тангенс равен y/x. Поделив 1 на найденные выше значения, можно легко найти соответствующие обратные тригонометрические функции. Таким образом, можно рассчитать все основные тригонометрические функции:

• sinθ=y
• cosθ=x
• tgθ=y/x
• cosec=1/y
• sec=1/x
• ctg=x/y

Найдите и запомните значения шести тригонометрических функций для углов, лежащих на координатных осях , то есть углов, кратных π/2, таких как 0, π/2, π, 3π/2, 2π и т. д. Для точек круга, находящихся на координатных осях, это не представляет никаких проблем. Если точка лежит на оси Оx, синус равен нулю, а косинус -- 1 или -1, в зависимости от направления. Если же точка лежит на оси Оy, синус будет равняться 1 или -1, а косинус -- 0.

Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/6. Нанесите угол π/6 на единичную окружность. Вы знаете, как находить длины всех сторон особых прямоугольных треугольников (с углами 30-60-90 и 45-45-90) по известной длине одной из сторон, а поскольку π/6=30 градусов, данный треугольник является одним из особых случаев. Для него, как вы помните, короткий катет равен 1/2 гипотенузы, то есть координата y составляет 1/2, а длинный катет длиннее короткого в √3 раз, то есть равен (√3)/2, так что координата x будет (√3)/2. Таким образом, получаем точку на единичной окружности со следующими координатами: ((√3)/2,1/2). Пользуясь приведенными выше равенствами, находим:

• sinπ/6=1/2
• cosπ/6=(√3)/2
• tgπ/6=1/(√3)
• cosecπ/6=2
• secπ/6=2/(√3)
• ctgπ/6=√3

Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/3. Угол π/3 отображается на окружности точкой, у которой координата x равна координате y угла π/6, а координата y такая же, как x для этого угла. Таким образом, точка имеет координаты (1/2, √3/2). В итоге получаем:

• sinπ/3=(√3)/2
• cosπ/3=1/2
• tgπ/3=√3
• cosecπ/3=2/(√3)
• secπ/3=2
• ctgπ/3=1/(√3)

Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/4. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника с углами 45-45-90 относится к длинам его катетов как √2 к 1, так же будут соотноситься и значения координат точки на единичной окружности. В итоге имеем:

• sinπ/4=1/(√2)
• cosπ/4=1/(√2)
• tgπ/4=1
• cosecπ/4=√2
• secπ/4=√2
• ctgπ/4=1

Определите, положительно или отрицательно значение функции. Все углы, принадлежащие одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку (одно быть положительным, второе -- отрицательным).

• Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
• Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cosec, отрицательны.
• В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
• В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.