Из курса оптики известно, что целый ряд оптических явлений удается последовательно описать с волновой точки зрения; примера­ми служат хорошо известные явления интерференции и дифракции света. С другой стороны (сошлемся на рассмотренный в предыдущем параграфе эффект Комптона), свет столь же явно демонстрирует свою корпуску­лярную природу. Этот дуализм "волна-частица" надо рассматривать как экспериментальный факт, и поэтому последовательная теория све­та должна быть корпускулярно-волновой. Разумеется, в каких-то предельных случаях могут оказаться достаточными только волновое или только корпускулярное описания.

Оказывается, и при этом мы вновь сошлемся на эксперимент, что и частицы вещества с ненулевой с массой (к ним относятся, например, электроны, протоны, нейтроны, атомы, молекулы и т. д.) также обнаруживают волновые свойства, так что между ними и фото­нами нет принципиального различия.

В этом пункте при переходе от макро — к микрообъектам возника­ет известная трудность в понимании существа физических явлений. Действительно, на уровне макроявлений корпускулярное и волновое описание четко разграничены. На уровне микроявлений эта граница в значительной степени размывается и движение микрообъекта стано­вится одновременно и волновым, и корпускулярным. Иными словами, более адекватной действительности становится ситуация, при которой микрообъект в какой-то мере похож на корпускулу, в какой-то мере­ на волну, причем эта мера зависит от физических условий наблюдения микрообъекта.

Последовательной теорией, учитывающей эту особенность всех микрочастиц, является квантовая теория. Но прежде чем перейти к изложению ее основных идей, необходимо установить каким образом один и тот же физический объект в принципе может проявлять то корпускулярные, то волновые свойства и какая существует сопостави­мость этих двух различных способов описания.

В оптических явлениях установлен критерий применимости поня­тия луча (т. е. корпускулярной картины) и найдены правила перехода от волновых понятий к корпускулярным. Продолжая рассуждения в этом направлении, можно надеяться! что здесь же лежит переход в обрат­ном направлении: от корпускулярных понятий классической механики к волновым представлениям квантовой механики.

Соответствующие идеи, использующие оптико-механическую анало­гию, были высказаны французским физиком Л. де Бройлем в 1924 г. Де Бройль выдвинул смелую гипотезу о том, что дуализм "волна-час­тица" не является особенностью одних только оптических явлений, но имеет универсальную применимость во всей физике микромира. В своей книге "Революция в физике" он писал: "В оптике в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым; не делалось ли в теории материи обратной ошибки? Не думали ли мы слишком много о картине "частиц" и не пре­небрегали ли чрезмерно картиной волн?”

К допущению волновых свойств у материальных частиц его приве­ли также следующие соображения. В конце 20-х годов XIX в. В. Гамильтон обратил внимание на удивительную аналогию между геометри­ческой оптикой и классический (ньютоновской) механикой. Было пока­зано, что основные законы этих столь непохожих на первый взгляд разделов физики представимы в математически тождественной форме. В результате вместо того, чтобы рассматривать движение частицы во внешнем поле с потенциальной энергией , можно изучать рас­пространение светового луча в оптически неоднородной среде с подоб­ранным соответствующим образом показателем преломления . Разумеется, эта эквивалентность описаний допускает и обратный пе­реход.

Отмеченная аналогия распространялась Гамильтоном только на геометрическую оптику и классическую механику. Но, как уже отмеча­лось, геометрическая оптика является приближением более общей вол­новой оптики и не описывает сугубо волновых свойств света. В свою очередь, классическая механика также имеет ограниченную область применимости: она, как известно, не может объяснить существование дискретных уровней энергии в атомных системах.

Идея де Бройля заключалась в том, чтобы расширить аналогию между оптикой и механикой и волновой оптике сопоставить волновую механику, попытавшись применить последнюю к внутриатомным явлениям. "Попытка приписать электрону, и вообще всем частицам, подобно фотонам, двойственную природу, наделить их волновыми корпускуляр­ными свойствами, связанными между собой квантом действия (постоян­ной Планка ), – такая задача представлялась крайне необхо­димой и плодотворной… Необходимо создать новую механику волново­го характера, которая будет относиться к старой механике как вол­новая оптика к геометрической оптике", – писал де Бройль в книге "Революция в физике".

За открытие волновых свойств вещества Л. де Бройль в 1929 г. был удостоен Нобелевской премии.

Обратимся теперь к формальной стороне вопроса. Пусть мы имеем микрочастицу (например, электрон) с массой M , движущуюся в вакууме с постоянной скоростью . Пользуясь корпускулярным описанием, припишем частице энергию E и импульс в соответствии с формулами (рассмотрим общий случай релятивистской частицы).

. (1.2.1)

С другой стороны, в волновой картине мы используем понятия частоты и длины волны (или волнового числа ). Если оба описания являются различными аспектами одного и того же физическо­го объекта, то между ними должна быть однозначная связь. Следуя де Бройлю, перенесем на случай частиц вещества те же правила пере­хода от одной картины к другой, справедливые в применении к све­ту:

(1.2.2)

Соотношения (1.2.2) получили название Формул де Бройля . Длина волны, связанная с частицей, определяется выражением

(1.2.3)

Ее называют Длиной волны де Бройля . Нетрудно сообразить по аналогии со светом, что именно эта длина волны должна фигурировать в критериях применимости волновой или корпускулярной картин.

Наиболее простым типом волны в вакууме с определенной часто­той и волновым вектором является плоская монохроматическая волна

О.С.Агеева, Т.Н.Строганова, К.С.Чемезова

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ

МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Тюмень. 2009

УДК 537(075):621.38

Агеева О.С., Строганова Т.Н., Чемезова К.С. Элементы квантовой механики и физики твердого тела: Учебное пособие. – Тюмень, -ТюмГНГУ, 2009. – 135 с.

В кратком виде излагаются физические основы квантовой механики, теория движения в поле потенциальных сил, изучаются туннельный эффект, атом водорода, физические основы работы лазеров.

Рассматриваются зонная теория твердых тел, электронная теория проводимости металлов и полупроводников, физические процессы в металлах, полупроводниках, p-n-переходах, обсуждаются вопросы, связанные с работой конкретных полупроводниковых и микроэлектронных приборов.

Предназначено для студентов технических специальностей ТюмГНГУ.

Ил. 79, табл.5.

Рецензенты: В.А.Михеев, кандидат физ.-мат. наук, заведующий кафедрой радиофизики Тюменского государственного университета; В.Ф.Новиков, доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой физики №1 ТюмГНГУ.

© Издательство «Нефтегазовый университет», 2009

ПРЕДИСЛОВИЕ

Громадный прогресс в области электротехники и электроники в значительной мере связан с успехами физики твердого тела, поэтому современный инженер независимо от специальности должен обладать некоторым минимумом знаний в этой области науки. В свою очередь, физика твердого тела базируется на квантовой механике.

Квантовая механика - это наука о движении микрочастиц – электронов, нуклонов, атомов. Эти частицы подчиняются иным законам, чем макроскопические тела, состоящие из многих атомов. Основной особенностью микрочастиц является то, что они обладают свойствами волны. При этом многие характеристики частиц (энергия, импульс, момент импульса) в большинстве случаев могут иметь лишь дискретные значения и изменяться только определенными порциями – квантами. Отсюда и произошло название – квантовая механика.

Имеющаяся в настоящее время специальная литература по квантовой механике и физике твердого тела предполагает подробное, детальное изучение предмета; она использует достаточно сложный математический аппарат и не рассчитана на студента, для которого данная дисциплина не является основной. В то же время в учебниках по общему курсу физики ряд вопросов, связанных со свойствами твердых тел, либо освещен недостаточно, либо не рассматривается совсем. Связь между уравнениями квантовой механики, их решениями и работой современных электронных, оптических и оптоэлектронных приборов, как правило, не просматривается.

Авторы настоящего пособия сделали попытку частично восполнить существующий пробел в учебной литературе по квантовой механике и физике твердого тела и изложить некоторые разделы этого большого и сложного курса в форме, доступной для студента технического ВУЗа, изучающего курс общей физики на младших курсах. Главное внимание в пособии уделено рассмотрению свойств металлов и полупроводников с позиций зонной теории твердых тел.

Основные вопросы квантовой механики изложены в главе 1. В ней же даны основы работы лазеров. Главы 2-4 посвящены анализу поведения электронов в кристаллах, электрофизическим свойствам металлов и полупроводников. Наиболее подробно рассмотрено явление проводимости полупроводников, приведены примеры практического применения данного явления. В главах 5-7 рассмотрен p-n- переход и ряд оптических явлений в полупроводниках. В этой части пособия значительное внимание уделено физическим процессам, лежащим в основе работы современных полупроводниковых и микроэлектронных приборов.

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Гипотеза де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц

В 1924г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу: корпускулярно-волновая двойственность свойств, установленная для света, имеет универсальный характер. Все частицы, имеющие конечный импульс, обладают волновыми свойствами. Движению частиц соответствует некоторый волновой процесс.

С каждым движущимся микрообъектом связываются корпускулярные характеристики: энергия E и импульс и волновые характеристики - длина волны λ или частота ν. Полная энергия частицы и ее импульс определятся формулами

; (1.1.1)

. (1.1.2)

Длина волны, связанной с движущейся частицей, определится выражением

. (1.1.3)

Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля получено в опытах по дифракции электронов на кристаллах. Рассмотрим кратко сущность этих опытов.

А). Французский ученый Луи де Бройль (1892–1987) в 1924 г. в докторской диссертации «Исследования по теории квантов» выдвинул смелую гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, утверждая, что поскольку свет ведет себя в одних случаях как волна, а в других – как частица, то и материальные частицы (электроны и др.) в силу общности законов природы должны обладать волновыми свойствами. «В оптике, – писал он, – в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым; не делалась ли в теории вещества обратная ошибка? Не думали ли мы слишком много о картине «частиц» и не пренебрегали ли чрезмерной картиной волн?» В то время гипотеза де Бройля выглядела безумной. Лишь в 1927 г., три года спустя, наука пережила огромное потрясение: физики К. Дэвиссон и Л. Джермер экспериментально подтвердили гипотезу де Бройля, получив дифракционную картину электронов.

Согласно квантовой теории света А. Эйнштейна, волновые характеристики фотонов света (частота колебаний v ф, релятивистской массой m ф и импульсом р ф) соотношениями:

По идее де Бройля, любая микрочастица, в том числе и с массой покоя ш 0 Ц 0, должна обладать не только корпускулярными, но и волновыми свойствами. Соответствующие частота v и длина волны л определяются при этом соотношениями, подобными эйнштейновским:

Отсюда длина волны де Бройля -

Таким образом, соотношения Эйнштейна, полученные им при построении теории фотонов в результате гипотезы, выдвинутой де Бройлем, приобрели универсальный характер и стали одинаково применимыми как для анализа корпускулярных свойств света, так и при исследовании волновых свойств всех микрочастиц.

Б). Свет обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Волновые свойства проявляются при распространении света (интерференция, дифракция). Корпускулярные свойства проявляются при взаимодействии света с веществом (фотоэффект, излучение и поглощение света атомами).

Свойства фотона как частицы (энергия E и импульс p ) связаны с его волновыми свойствами (частотой ν и длиной волны λ) соотношениями

где h = 6,63·10 –34 Дж·с – постоянная Планка.

Французский физик де Бройль в 1924 г. высказал предположение, что сочетание волновых и корпускулярных свойств присуще не только свету, но и любому материальному телу. Согласно де Бройлю, каждому телу массой m , движущемуся со скоростью υ, соответствует волновой процесс с длиной волны

(нерелятивистское приближение υ << c ).

Наиболее отчетливо волновые свойства проявляются у элементарных частиц. Это происходит потому, что из-за малой массы частиц длина волны оказывается сравнимой с расстоянием между атомами в кристаллических решетках. В этом случае при взаимодействии пучка частиц с кристаллической решеткой возникаетдифракция.

Для иллюстрации волновых свойств частиц часто используют мысленный эксперимент – прохождение пучка электронов (или других частиц) через щель ширинойΔx . С точки зрения волновой теории при дифракции на щели пучок будет уширяться с угловой расходимостью θ ≥ λ / Δx . С корпускулярной точки зрения уширение пучка после прохождения щели объясняется появлением у частиц некоторого поперечного импульса. Разброс значений этого поперечного импульса («неопределенность») есть

Соотношение

носит название соотношения неопределенностей. Это соотношение на корпускулярном языке выражает наличие волновых свойств у частиц.

Эксперимент по прохождению пучка электронов через две близко расположенные щели может служить еще более яркой иллюстрацией волновых свойств частиц. Этот эксперимент является аналогом оптического интерференционного опыта Юнга.

Компьютерная модель воссоздает на экране дисплея мысленные эксперименты по дифракции электронов на одной и двух щелях.

Подлетая к экрану со щелями, частицы взаимодействуют с ним как волны де Бройля. Поведение частиц в пространстве между экраном со щелями и фотопластинкой описывается в квантовой физике с помощью Ψ-функций. Квадрат модуля пси-функции определяет вероятность обнаружения частицы в том или ином месте. Таким образом, попадание частиц в различные точки фотопластинки есть вероятностный процесс. Компьютерная модель позволяет продемонстрировать этот процесс.

В случае одиночной щели модель иллюстрирует соотношение неопределенностей, которое является следствием двойственной природы частиц. Можно изменять в некоторых пределах ширину щели и наблюдать дифракционное размытие электронного пучка на фотопластинке.

Предполагается, что электроны имеют энергию порядка 100 эВ.

Обратите внимание, что в случае двух щелей наблюдаемое на фотопластинке распределение не является простым наложением двух независимых распределений от каждой из щелей в отдельности. Появление интерференционных полос на фотопластинке однозначно свидетельствует о том, что каждая достигшая фотопластинки частица одновременно прошла через обе щели экрана.

64.Соотношение неопределенностей Гейзенберга. В 1927 г. В.Гейзенберг открыл так называемые , в соответствии с которыми неопределенности координаты и импульсасвязаны между собой соотношением: , где,h постоянная Планка. Своеобразие описания микромира в том, что произведение неопределенности (точности определения) положения Δx и неопределенности (точности определения) импульса Δp x всегда должно быть равно или больше константы, равной – . Из этого следует, что уменьшение одной из этих величин должно приводить к увеличению другой. Хорошо известно, что любое измерение сопряжено с определенными ошибками и совершенствуя приборы измерения, можно уменьшать погрешности, т. е. повышать точность измерения. Но Гейзенберг показал, что существуют сопряженные (дополнительные) характеристики микрочастицы, точное одновременное измерение которых, принципиально невозможно. Т.е. неопределенность – свойство самого состояния, оно не связано с точностью прибора.

Для других сопряженных величин – энергии E и времени t соотношения неопределенностей , имеет вид: . Это означает, что при характерном времени эволюции системы Δt , погрешность определения ее энергии не может быть меньше чем . Из этого соотношения следует возможность возникновения из ничего, так называемых,виртуальных частиц на промежуток времени меньший, чем и обладающих энергией ΔE . При этом закон сохранения энергии не будет нарушен. Поэтому по современным представлениям вакуум это не пустота, в которой отсутствуют поля и частицы, а физическая сущность, в которой постоянно возникают и исчезают виртуальные частицы.

Одним из основных принципов квантовой механики является принцип неопределенностей , открытый Гейзенбергом. Получение информации об одних величинах, описывающих микрообъект, неизбежно ведет к уменьшению информации о других величинах, дополнительных к первым. Приборы, регистрирующие величины, связанные соотношениями неопределенности, разного типа, они дополнительны друг к другу. Под измерением в квантовой механике подразумевается всякий процесс взаимодействия между классическим и квантовыми объектами, происходящий помимо и независимо от какого-либо наблюдателя. Если в классической физике измерение не возмущало сам объект, то в квантовой механике каждое измерение разрушает объект, уничтожая его волновую функцию. Для нового измерения объект нужно готовить заново. В этой связи Н. Бор выдвинул принцип дополнительности , суть которого в том, что для полного описания объектов микромира необходимо использование, двух противоположных, но дополняющих друг друга представлений.

Дифракция фотонов, как иллюстрация соотношения неопределенностей

С точки зрения квантовой теории свет можно рассматривать как поток световых квантов - фотонов. При дифракции монохроматической плоской волны света на узкой щели, каждый фотон, прошедший через щель, попадает в определенную точку на экране (Рис 1.). Предсказать, в какую именно точку попадет фотон невозможно. Однако в совокупности, попадая в разные точки экрана, фотоны дают дифракционную картину. Когда фотон проходит через щель, можно говорить, что его координата x, была определена с погрешностью Δx, которая равна размеру щели. Если фронт плоской монохроматической волны параллелен плоскости экрана со щелью, то каждый фотон имеет импульс, направленный по оси z перпендикулярно экрану. Зная длину волны, этот импульс можно точно определить: p = h/λ.

Однако после прохождения через щель, направление импульса меняется, в результате чего и наблюдается дифракционная картина. Модуль импульса остается постоянным, так как при дифракции света длина волны не меняется. Отклонение от первоначального направления возникает за счет появления составляющей Δp x вдоль оси х (Рис. 1.). Величину этой составляющей для каждого конкретного фотона определить невозможно, но максимальное ее значение по модулю определяет ширину 2S дифракционной картины. Максимальное значение Δp x и является мерой неопределенности импульса фотона, возникающей при определении его координаты с погрешностью Δx. Как видно из рисунка, максимальное значение Δp x равно: Δp x = psinθ, . Если L >> s , тогда можно записать: sinθ =s/L и Δp x = p(s/L ).

Бор опубликовал свои результаты в 1913 г. Для мира физики они стали одновременно и сенсацией, и загадкой. Но Англия, Германия и Франция - эти три колыбели новой физики - были вскоре захвачены другой проблемой. Эйнштейн заканчивал работу над созданием новой теории тяготения (одно из следствий ее было проверено в 1919 г. во время международной экспедиции, участники которой измерили отклонение луча света, идущего от звезды, при прохождении его вблизи Солнца во время затмения). Несмотря на огромный успех теории Бора, объяснившей спектр излучения и другие свойства атома водорода, попытки обобщить ее на атом гелия и атомы других элементов оказались мало успешными. И хотя накапливалось все больше сведений о корпускулярном поведении света при его взаимодействии с веществом, очевидная несогласованность постулатов Бора (загадка атома Бора ) оставалась необъясненной.

В двадцатые годы возникло несколько направлений исследований, которые привели к созданию так называемой квантовой теории. Хотя эти направления казались вначале совершенно не связанными между собой, позднее (в 1930 г.) было показано, что все оно эквивалентны и являются просто различными формулировками одной и той же идеи. Проследим за одной из них.

В 1923 г. Луи де Бройль, тогда еще аспирант, выдвинул предположение, что частицы (например, электроны) должны обладать волновыми свойствами. «Мне кажется, - писал он, - …что основная идея квантовой теории состоит в невозможности представить отдельную порцию энергии, не связав с нею определенной частоты».

Объекты волновой природы обнаруживают свойства частиц (например, свет при его излучении или поглощении ведет себя подобно частице). Это было показано Планком и Эйнштейном и использовано Бором в его модели атома. Почему же тогда объекты, которые мы обычно рассматриваем как частицы (скажем, электроны), не могут обнаруживать свойства волн? Действительно, почему? Такая симметрия между волной и частицей была для де Бройля тем же, чем были круговые орбиты для Платона, гармоничные соотношения между целыми числами для Пифагора, правильные геометрические формы для Кеплера или солнечная система, центром которой является светило, для Коперника.

Каковы же эти волновые свойства? Де Бройль предложил следующее. Было известно, что фотон излучается и поглощается в виде дискретных порции, энергия которых связана с частотой формулой:

В то же время соотношение между энергией и импульсом релятивистского кванта света (частицы с нулевой массой покои) имеет вид:

Вместе эти соотношения дают:

Отсюда де Бройль получил связь между длиной волны и импульсом:

для объекта волнового типа - фотона, который, судя по наблюдениям, излучался и поглощался в виде определенных порций.

Далее де Бройль предположил, что со всеми объектами независимо от того, какого они типа - волнового или корпускулярного, связана определенная длина волны, выражающаяся через их импульс точно такой же формулой. Электрону, например, и вообще любой частице соответствует волна, длина волны которой равна:

Что это за волна, де Бройль в то время еще не знал. Однако, если предположить, что электрон в некотором смысле обладает какой-то длиной волны, то мы получим из этого предположения определенные следствия.

Рассмотрим квантовые условия Бора для стационарных орбит электрона. Допустим, что стабильные орбиты таковы, что на их длине укладывается целое число длин волн, т. е. выполняются условия существования стоячих волн. Стоячие волны, будь они на струне или в атоме неподвижны и сохраняют свою форму со временем. При заданных размерах колеблющейся системы они обладают лишь определенными длинами волн.

Предположим, говорил де Бройль, что разрешенными орбитами в атоме водорода являются только те, для которых выполнены условия существования стоячих волн. Для этого на длине орбиты должно укладываться целое число длин волн (фиг. 89), т. е.

nλ = 2πR, n = 1, 2, 3,…. (38.7)

Но связанная с электроном длина волны выражается через его импульс по формуле:

Тогда выражение (38.7) можно записать в виде:

nh/p = 2πR (38.8)

pR = L = nh/2π (38.9)

В результате получается условие квантования Бора. Таким образом, если с электроном связать определенную длину волны, то боровское условие квантования означает, что орбита электрона устойчива, когда на ее длине укладывается целое число стоячих волн. Иными словами, квантовое условие становится теперь не особым свойством атома, а свойством самого электрона (и в конце концов, всех остальных частиц ).

Недостаточность теории Бора сделала необходимым критический пересмотр основ квантовой теории и представлений о природе элементарных частиц (электронов, протонов и т. п,). Возник вопрос о том, насколько исчерпывающим является представление электрона в виде малой механической частицы, характеризуемой определенными координатами и определенной скоростью.

В результате углубления наших знаний о природе света выяснилось, что в оптических явлениях обнаруживается своеобразный дуализм (см. § 57). Наряду с такими свойствами света, которые самым непосредственным образом свидетельствуют о его волновой природе (интерференция, дифракция), имеются и другие свойства, столь же непосредственно обнаруживающие его корпускулярную природу (фотоэффект, явление Комп-тона).

В 1924 г. Луи де-Бройль выдвинул смелую гипотезу, что дуалн-зм не является особенностью одних только оптических явлений, но имеет универсальное значение. «В оптике, - писал он, - в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым; не делалась ли в теории вещества обратная ошибка?»

Допуская, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют также и волновые, де-Бройль перенес на случай частиц вещества те же правила пе-

рехода от одной картины к другой, какие справедливы в случае света. Фотон, как известно [см. формулы (57.1) и (57.4)], обладает энергией

и импульсом

По идее де-Бройля, движение электрона или какой-либо другой частицы связано с волновым процессом, длина волны которого равна

а частота

Гипотеза де-Бройля вскоре была блестяще подтверждена экспериментально. Дэвиссон и Джермер обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от кристаллической пластинки, дает дифракционную картину. Томсон и независимо от него Тартаковский получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу. Опыт осуществлялся следующим образом (рис. 190). Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов порядка нескольких десятков киловольт, проходил через тонкую металлическую фольгу и попадал на фотопластинку. Электрон при ударе о фотопластинку оказывает на нее такое же действие, как и фотон. Полученная таким способом электронограмма золота (рис. 191, а) сопоставлена с полученной в аналогичных условиях рентгенограммой алюминия (рис. 191,6). Сходство обеих картин поразительно.

Штерн и его сотрудники показали, что дифракционные явления обнаруживаются также у атомных и молекулярных пучков. Во всех перечисленных случаях

дифракционная картина соответствует длине волны, определяемой соотношением (64.1).

Из описанных опытов с несомненностью вытекает, что пучок микрочастиц определенной скорости и

■аправлеиия дает дифракционную картину, подобную картине, получаемой от плоской волны.

Дифракция электронов - процесс рассеяния электронов на совокупности частиц вещества, при котором электрон проявляет волновые свойства. Данное явление называется корпускулярно-волновым дуализмом , в том смысле, что частица вещества(в данном случае взаимодействующие электроны) может быть описана, как волна.

ДИФРАКЦИЯ НЕЙТРОНОВ - явление рассеяния нейтронов, в к-ром определяющую роль играют волновые свойства нейтрона (см. Корпускулярно-волновой дуализм ).Длина волны и импульс р связаны соотношением де Бройля =hp . Матем. описание Д. н., так же как и в случае др. волновых полей, следует из принципа Гюйгенса - Френеля и, в этом смысле, аналогично описаниюдифракции света , рентг. лучей, электронов и др. микрочастиц (см. Дифракция волн ).Согласно этому описанию, интенсивность рассеянного излучения в некрой точке пространства зависит как от , так и от свойств рассеивающего объекта. Соответственно, Д. н. применяется как для исследования или формирования нейтронных пучков (нейтронные монохроматоры, анализаторы), так и для исследований строения рассеивающего вещества.

Рис. 1. Угловое распределение нейтронов с энергией 14 МэВ, рассеянных на ядре Sn; - сечение рассеяния; - угол рассеяния.

Оценка энергии нулевых колебаний осциллятора. Будем действовать точно так же, как и в предыдущем примере. Энергия классического одномерного гармонического осциллятора описывается выражением

E = px2 / 2m + mω2x2 / 2.

Рассматривая px и х как неопределенности импульса и координаты осциллирующего микрообъекта и пользуясь в качестве соотношения неопределенностей равенством pxх = h, получаем

Е(px) = px2 / 2m + mω2h2 / 2px2 .

Приравнивая к нулю производную, находим величину

р0 = mωh, при которой функция Е(px) принимает минимальное значение. Легко убедится, что это значение равно

Е = Е(p0) = hω.

Этот результат весьма интересен. Он показывает, что в квантовой механике энергия осциллятора не может обратиться в нуль; ее минимальное значение оказывается порядка hω. Это есть так называемая энергия нулевых колебаний.

Учитывая существование нулевых колебаний, можно прийти, в частности, к следующему интересному заключению: энергия колебательного движения атомов кристалла не обращается в не обращается в нуль даже при температуре абсолютного нуля.

Нулевые колебания иллюстрируют принципиальное общее обстоятельство: нельзя реализовать микрообъект на «дне потенциальной ямы», или, иначе говоря, «микрообъект не может упасть на дно потенциальной ямы». Этот вывод не зависит от вида потенциальной ямы, так как является прямым следствием соотношений неопределенности импульса; в этом случае неопределенность координаты должна стать сколь угодно большой, что противоречит самому факту пребывания микрообъекта в потенциальной яме.

Туннелирование электрона через потенциальный барьер является принципиально квантово-механическим эффектом, который не имеет аналога в классической механике. Туннельный эффект является экспериментальным подтверждением одного из фундаментальных исходных положений квантовой механики - корпускулярно-волнового дуализма свойств элементарных частиц.

Туннельным эффектом называется возможность элементарной частице, например электрону, пройти (протуннелировать) через потенциальный барьер, когда барьер выше полной энергии частицы. Возможность существования туннельного эффекта в микромире была понята физиками в период создания квантовой механики, в 20-30-х годах нашего века. В дальнейшем за счет туннельного эффекта были объяснены некоторые весьма важные явления, обнаруженные экспериментально в различных областях физики.

Вопрос 12

А́том (от др.-греч. ἄτομος - неделимый) - частица вещества микроскопических размеров и массы, наименьшая частьхимического элемента , являющаяся носителем его свойств.

Атом состоит из атомного ядра и электронов . Если число протонов в ядре совпадает с числом электронов, то атом в целом оказывается электрически нейтральным. В противном случае он обладает некоторым положительным или отрицательным зарядом и называется ионом . В некоторых случаях под атомами понимают только электронейтральные системы, в которых заряд ядра равен суммарному заряду электронов, тем самым противопоставляя их электрически заряженным ионам.

Ядро, несущее почти всю (более чем 99,9%) массу атома, состоит из положительно заряженныхпротонов и незаряженныхнейтронов , связанных между собой при помощи сильного взаимодействия . Атомы классифицируются по количеству протонов и нейтронов в ядре: число протонов Z соответствует порядковому номеру атома в в периодической системе и определяет его принадлежность к некоторому химическому элементу, а число нейтронов N - определённому изотопу этого элемента. Число Z также определяет суммарный положительный электрический заряд (Ze ) атомного ядра и число электронов в нейтральном атоме, задающее его размер.

ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ - атомы (ионы), состоящие, подобно атому водорода, из ядра и одного электрона. К ним относятся ионы элементов с ат. номером 2, потерявшие все электроны, кроме одного: He + , Li +2 , В+ 3 ,. . . Вместе с водородом они образуют простейший изоэлектронный ряд .Уровни энергии (и спектры) В. а. подобны водородным, отличаясь от них масштабом энергий (и частот) переходов в Z 2 раз (см. Атом ).

Системы, подобные В. а., образуют атомное ядро и мезон (мезоатом ),а также электрон и позитрон (позитроний ; )для этих систем также получаются аналогичные водородным уровни энергии и спектры.

Энергетический уровень - собственные значения энергииквантовых систем , то есть систем, состоящих из микрочастиц (электронов , протонов и других элементарных частиц ) и подчиняющихся законам квантовой механики . Каждый уровень характеризуется определённым состоянием системы , или подмножеством таковых в случаевырождения . Понятие применимо к атомам (электронные уровни), молекулам (различные уровни, соответствующие колебаниям и вращениям), атомным ядрам (внутриядерные энергетические уровни) и т.д.

Ионизации и возбуждения.

На освобождение электрона от связи с атомным ядром, вследствие чего и происходит образование положительного иона, необходимо затратить определенное количество энергии. Энергия, израсходованная на отрыв электрона, называется работой ионизации. Работа ионизации, выраженная в электронвольтах, называетсяпотенциалом ионизации (электронвольт-единица энергии, которую приобретает электрон, ускоренный электрическим полем с разностью потенциалов в 1 В). Если сообщить связанному электрону газовой молекулы или атома некоторое количество дополнительной энергии, то электрон перейдет на новую орбиту с более высоким энергетическим уровнем, а молекула или атом будут находиться в возбужденном состоянии. Количество энергии, выраженное в электронвольтах, которое необходимо затратить для возбуждения атома или молекулы газа, называется потенциалом возбуждения. Возбужденное состояние атома или молекулы газа является неустойчивым, и электрон может снова возвратиться на стационарную орбиту, а атом или молекула перейдет в нормальное невозбужденное состояние. Энергия возбуждения при этом передается в окружающее пространство в форме светового электромагнитного излучения.

Величина потенциала ионизации и возбуждения зависит от природы атома. Наименьший потенциал ионизации

(3,9 эВ) имеют пары цезия, а наибольший (24,5 эВ) наблюдается у газа гелия. У щелочноземельных металлов (цезия, калия, натрия, бария, кальция) связь между электронами и ядром невелика, поэтому они имеют наименьшие потенциалы ионизации, следовательно, на возбуждение и работу выхода электрона потребуется затратить меньше энергии, чем у железа, марганца, меди и никеля. Элементы, имеющие меньшие потенциалы ионизации и возбуждения, чем свариваемый металл, вводят в состав электродных покрытий, чтобы повысить стабилизацию дугового разряда в газах. Количество энергии, которое необходимо для выделения электрона из металла или жидкого тела, называется работой выхода электрона и выражается в электронвольтах.

Пространственное распределение электрона в атоме водорода. @

Графически вероятность нахождения электрона можно изобразить в виде облака, где более темные области соответствуют большей вероятности нахождения. «Размеры» и «форму» электронного облака в заданном состоянии атома можно вычислить. Для основного состояния атома водорода решение уравнения Шредингера дает
, (2.6)
где φ (r) – волновая функция, зависящая только от расстояния r до центра атома, r 1 – постоянная, совпадающая с радиусом первой Боровской орбиты. Следовательно, электронное облако в основном состоянии водорода сферически-симметрично, как показано на рисунке 11. Электронное облако только приблизительно характеризует размеры атома и движение электрона, так как согласно (2.15) вероятность обнаружения электрона не равна нулю для любой точки пространства. На рисунке 12 изображены электронные облака атома водорода в состояниях: n=2, l=1 и m=1, 0, -1 при наличии магнитного поля.

Рис. 11. Электронное облако атома водорода в основном состоянии n =1, l= 0.

Рис. 12. Электронные облака атома водорода и прецессия моментов импульса в состояниях n = 2, l = 1 для m = 1, 0, -1

Если в этих состояниях определить наиболее вероятные расстояния электрона от ядра, то они будут равны радиусам соответствующих Боровских орбит. Таким образом, хотя квантовая механика не использует представление о движении электрона по определенным траекториям, тем не менее, радиусам Боровских орбит и в этой теории можно придать определенный физический смысл.

ШИРИНА УРОВНЯ - неопределённость энергии кванто-вомеханич. системы (атома, молекулы и др.), обладающей дискретными уровнями энергии в состоянии, к-рое не является строго стационарным. Ш. у. D , характеризующая размытие уровня энергии, его уширение, зависит от ср. длительности пребывания системы в данном состоянии- времени жизни на уровне t k и, согласно неопределённостей соотношению для энергии и времени, Для строго стационарного состояния системы t k = и D =0. Время жизни t k , а следовательно, и Ш.у. обусловлены возможностью квантовых переходов системы в состояния с др. энергиями. Для свободной системы (напр., для изолир. атома) спонтанные излучат. переходы с уровня на нижележащие уровни определяют радиационную, или естественную, Ш.у.:

, где -полная вероятность спон танного испускания с уровня , A ki - Эйнштейна коэффициентыдля спонтанного испускания. Уширение уровня может быть вызвано также спонтанными безызлучат. переходами, напр. для радиоакт. атомного ядра - альфа-распадом .Ширина атомного уровня очень мала по сравнению с энергией уровня. В др. случаях (напр., для возбуждённых ядер, вероятность квантовых переходов к-рых обусловлена испусканием нейтронов и очень велика) Ш.у. может стать сравнимой с расстоянием между уровнями. Любые взаимодействия, увеличивающие вероятность перехода системы в др. состояния, приводят к дополнит. уширению уровней. Примером может служить уширение уровней атома (иона) в плазме в результате его столкновения с ионами и электронами (см. Излучение плазмы ) . В общем случае полная Ш.у. пропорц. сумме вероятностей всех возможных переходов с этого уровня - спонтанных и вызванных разл. взаимодействиями.

Особенности структуры электронных уровней в сложных атомах. Связь распределения электронов по орбиталям с периодической таблицей Менделеева.@

Условно все возможные квантовые состояния распределяют (группируют) по слоям (оболочкам), подслоям (подоболочкам) и орбиталям. Как оказалось, свойства атомов определяются распределением электронов по этим состояниям.

Квантовым слоем (квантовой оболочкой) называют совокупность состояний, которым соответствует одно и тем же значение квантового числа n, но разные значения l,m, s. Наибольшее число электронов N, которые могут находиться в оболочке, согласно (2.8), равно удвоенному квадрату номера слоя: N=2n 2 . Так как энергия состояний в многоэлектронном атоме зависит от двух квантовых чисел n и l, то электроны в квантовом слое могут занимать l энергетических уровней. Квантовые слои обозначаются цифрами, соответствующими номерам слоев, кроме того они имеют названия: слой n = 1 называют К слоем (или К оболочкой), слой n = 2 называют L слоем (или L оболочкой), слой n= 3 – М слоем, n = 4 – N, n = 5 – О слоем, n = 6 – Р и так далее.

Каждый квантовый слой с номером n условно состоит из n квантовых подслоев (подоболочек), соответствующих состояниям с одними и теми же n, l, но разными m, s.В подслое может находиться до 2(2l+1) электронов, подслои обозначаются буквами: l = 0 – s, l= 1 – p, l= 2 – d, l= 3 – f, l= 4 – g и т.д. Энергия электронов одного подслоя примерно одинакова.

В свою очередь, каждый подслой состоит из 2l+1орбиталей, соответствующих состояниям с одними и теми же n, l, m, но разными s . 1/2.±На каждой орбитали может находиться не более двух электронов с разными спиновыми числами s =

Отсюда следует, что в s-подслое может содержаться максимум 2 электрона, в р-подслое – 6, в d – 10, в f – 14, в g – 18 электронов. Соответственно в слое K может содержаться максимум 2 электрона, в слое L – 8, в слое M –18, в слое N – 32 и т.д.

1s®Структуры и максимально возможные заполнения слоев изображают в виде формул: K-слой 2 2s®, L слой 2 2p 6 3s®, M-слой 2 3p 6 3d 10 4s®, N-слой 2 4p 6 4d 10 4f 14 . Используя введенные понятия, можно условно формулой и графически изобразить распределение электронов, например атома кислорода О 8 , следующим образом: символьно- 1s 2 2s 2 2p 4 , графически- (Рис.14).

Рис.14. Условное графическое изображение орбиталей кислорода.
При заселении орбиталей электроны в первую очередь располагаются поодиночке на каждой орбитали, а затем начинается их заполнение вторыми электронами. Эта особенность называется правилом Гунда, она связана с тем, что энергия подслоя при таком заполнении несколько меньше. На рис.14 показано применение этого правила для кислорода.

Принцип Паули - фундаментальный закон природы,согласно которому в квантовой системе две (или более) тождественныечастицы с полуцелым спином не могут одновременно находиться в одном и томже состоянии. Сформулирован В. Паули (1925).
Состояние каждого электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами:

1. Главное квантовое число n (n = 1, 2 ...).

2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число l (l = 0, 1, 2, ... n-1).

3. Магнитное квантовое число m (m = 0, +/-1, +/-2, +/-... +/-l).

4. Спиновое квантовое число ms (ms = +/-1/2).

Для одного фиксированного значения главного квантового числа n существует 2n2 различных квантовых состояний электрона.

Один из законов квантовой механики, называемый принципом Паули, утверждает:

В одном и том же атоме не может быть двух электронов, обладающих одинаковым набором квантовых чисел, (т.е. не может быть двух электронов в одинаковом состоянии).

Принцип Паули дает объяснение периодической повторяемости свойств атома, т.е. периодической системе элементов Менделеева.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний) гласит: атомная система может находится только в особых стационарных или квантовыхсостояниях, каждому из которых соответствует определенная энергия E n . В стационарных состояниях атом не излучает.

Этот постулат находится в явном противоречии с классической механикой, согласно которой энергия движущегося электрона может быть любой. Он находится в противоречии и с электродинамикой, так как допускает возможность ускоренного движения электронов без излучения электромагнитных волн. Согласно первому постулату Бора, атом характеризуется системой энергетических уровней , каждый из которых соответствует определенному стационарному состоянию (рис. 6.2.2). Механическая энергия электрона, движущегося по замкнутой траектории вокруг положительно заряженного ядра, отрицательна. Поэтому всем стационарным состояниям соответствуют значения энергии E n < 0. При E n ≥ 0 электрон удаляется от ядра, т. е. происходит ионизация. Величина |E 1 | называется энергией ионизации . Состояние с энергией E 1 называется основным состоянием атома.

Второй постулат Бора (правило частот) формулируется следующим образом: при переходе атома из одного стационарного состояния с энергией E n в другое стационарное состояние с энергией E m излучается или поглощается квант, энергия которого равна разности энергий стационарных состояний:

Второй постулат Бора также противоречит электродинамике Максвелла , так как частота излучения определяется только изменением энергии атома и никак не зависит от характера движения электрона.

Теория Бора при описании поведения атомных систем не отвергла полностью законы классической физики. В ней сохранились представления об орбитальном движении электронов в кулоновском поле ядра. Классическая ядерная модель атома Резерфорда в теории Бора была дополнена идеей о квантовании электронных орбит. Поэтому теорию Бора иногда называют полуклассической .

ЛИНЕЙЧАТЫЕ СПЕКТРЫ - оптические спектры испускания и поглощения, состоящие из отдельных спектральных линий. Л. с. являются атомные спектры, спектры звёздных атмосфер (см. Фраунгофероеы линии), спектры органич. молекул при низких темп pax в спец. условиях (см.…

АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ - оптические спектры свободных или слабо связанных атомов (одноатомных газов, паров). Обусловлены квантовыми переходами атома. Атомные спектры - линейчатые, состоят из отдельных спектральных линий, которые характеризуются определенной длиной волны и для простых атомов группируются в спектральные серии . Содержат информацию о строении атомов, используются также в спектральном анализе.

Вопрос 13.

ЯДРО АТОМНОЕ - центральная массивная часть атома, состоящая из протонов и нейтронов (нуклонов). В Я. а. сосредоточена почти вся масса атома (более 99,95%). Размеры ядер порядка 10 -13 -10 -12 см. Ядра имеют положит. электрич.заряд , кратный абс. величине заряда электрона е: Q = Ze . Целое число Z совпадает с порядковым номером элемента впериодической системе элементов . Я. а. было открыто Э. Резерфордом (Е. Rutherford) в 1911 в опытах по рассеянию a-частиц при прохождении их через вещество.

СТРОЕНИЕ

Ядро представляет собой центральную часть атома. В нем сосредоточены положительный электрический заряд и основная часть массы атома; по сравнению с радиусом электронных орбит размеры ядра чрезвычайно малы: 10-15 - 10-14 м. Ядра всех атомов состоят из протонов и нейтронов, имеющих почти одинаковую массу, но лишь протон несет электрический заряд. Полное число протонов называется атомным номером Z атома, который совпадает с числом электронов в нейтральном атоме. Ядерные частицы (протоны и нейтроны), называемые нуклонами, удерживаются вместе очень большими силами; по своей природе эти силы не могут быть ни электрическими, ни гравитационными, а по величине они на много порядков превышают силы, связывающие электроны с ядром. Первое представление об истинных размерах ядра давали опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц в тонких металлических фольгах. Частицы глубоко проникали сквозь электронные оболочки и отклонялись, приближаясь к заряженному ядру. Эти опыты явно свидетельствовали о малых размерах центрального ядра и указали на способ определения ядерного заряда. Резерфорд установил, что альфа-частицы приближаются к центру положительного заряда на расстояние примерно 10-14 м, а это позволило ему сделать вывод, что таков максимально возможный радиус ядра. На основе таких предположений Бор построил свою квантовую теорию атома, успешно объяснившую дискретные спектральные линии, фотоэффект, рентгеновское излучение и периодическую систему элементов. Однако в теории Бора ядро рассматривалось как положительный точечный заряд. Ядра большинства атомов оказались не только очень малы - на них никак не действовали такие средства возбуждения оптических явлений, как дуговой искровой разряд, пламя и т.п. Указанием на наличие некой внутренней структуры ядра явилось открытие в 1896 А. Беккерелем радиоактивности. Оказалось, что уран, а затем и радий, полоний, радон и т.п. испускают не только коротковолновое электромагнитное излучение, рентгеновское излучение и электроны (бета-лучи), но и более тяжелые частицы (альфа-лучи), а они могли исходить лишь из массивной части атома. Резерфорд использовал альфа-частицы радия в своих опытах по рассеянию, которые послужили основой формирования представлений о ядерном атоме. (В то время было известно, что альфа-частицы - это атомы гелия, лишенные своих электронов; но на вопрос - почему некоторые тяжелые атомы спонтанно испускают их, ответа еще не было, как не было и точного представления о размерах ядра.)

Модели ядра

Нач. период развития ядерной физики связан с формированием и развитием капельной и оболочечной моделей ядра. Эти Я. м. возникли почти одновременно в 30-х гг. 20 в. Они основаны на разл. представлениях и призваны описывать противоположные свойства ядер. В капельной модели ядро рассматривается как непрерывная среда, состоящая из нейтронной и протонной жидкостей и описываемая ур-ниями классич. гидродинамики (отсюда др. назв.- г и д р о д и н а м и ч. м о д е л ь). Плотн. ядерной жидкости почти постоянна внутри объёма капли и резко падает в поверхностном слое, толщина к-рого значительно меньше радиуса капли. Осн. параметры: равновесная плотность безграничной ядерной жидкости r 0 (0,16 частиц/Фм 3), энергия связи на 1 нуклон m 0 (16 МэВ) и коэф. поверхностного натяжения s (1 МэВ/Фм 2); иногда вводят s 1 и s 2 для нейтронов и протонов в отдельности. Для учёта зависимости энергии связи ядра от величины нейтронного избытка (N-Z; N и Z- соответственно числа нейтронов и протонов в ядре) вводится изовекторный коэф. сжимаемости ядерной материи b (30 МэВ); для учёта конечной сжимаемости ядерного вещества – изоскалн коэф. сжимаемости (м о д у л ь с ж а т и я) K (200 МэВ).

Капельная модель ядра описывает осн. макроскопич. свойства ядер: свойство насыщения, т. е. пропорциональность энергии связи тяжёлых ядер массовому числу A = N+Z; зависимость радиуса ядра R от A: R = r 0 A 1/3 , где r 0 - практически постоянный коэф. (1,06 Фм) за исключением самых лёгких ядер. Она приводит к Вайцзек-кера формуле, к-рая в среднем хорошо описывает энергии связи ядер. Капельная модель хорошо описывает деление ядер. В сочетании с т. н. оболочечной поправкой (см. ниже) она до сих пор служит осн. инструментом исследования этого процесса.

Оболочечная модель ядра основана на представлении о ядре как о системе нуклонов, независимо движущихся в ср. поле ядра, создаваемом силовым воздействием остальных нуклонов. Эта Я. м. возникла по аналогии с атомной моделью оболочек и первоначально была призвана объяснить обнаруженные экспериментально отклонения от ф-лы Вайцзеккера и существованиемагических ядер, для к-рых N и Z соответствуют наиб. выраженным максимумам энергии связи. В отличие от капельной модели, к-рая практически сразу возникла в законченном виде, оболочечная модель претерпела длит. период поиска оп-тим. формы потенциала ср. поля U(r), обеспечивающего правильные значения магич. чисел. Решающий шаг был сделан в кон. 40-х гг. М. Гёпперт-Майер (М. Goeppert-Mayer) и X. Йенсеном (Н. Jensen), выяснившими важную роль спин-орбитального слагаемого (U SL)ср. поля. Для центр. части ядра в совр. теории обычно используют потенциал Саксона-Вудса.

ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ

ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ, превращения атомных ядер при взаимодействии с элементарными частицами, g-квантами или друг с другом. Ядерные реакции используются в экспериментальной ядерной физике (исследование свойств элементарных частиц, получение трансурановых элементов и др.), извлечении и применении ядерной энергии и др. Ядерные реакции - основной процесс производства энергии светящихся звезд.

ПОРОГРЕАКЦИИ

Механизмы ядерных реакций.

По механизму взаимодействия ядерные реакции делятся на два основных вида:

Реакции с образованием составного ядра, это двустадийный процесс, протекающий при не очень

большой кинетической энергии сталкивающихся частиц (примерно до 10 МэВ).

Прямые ядерные реакции, проходящие за ядерное время, необходимое для того, чтобы частица

пересекла ядро. Главным образом такой механизм проявляется при очень больших энергиях бомбардирующих частиц